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DR. JAMES GRIME: Le paradoxe
de Zenon est un problème qui
n'intéresse pas uniquement
les mathématiciens, comme moi.
Il intéresse également les
physiciens et philosophes.
Et il existe depuis des
siècles.
Zenon était un philosophe
grecque.
Il vécu il y a 2 500 ans,
et il publia une liste
de paradoxes.
Il en existe neuf.
Ceux dont je veux parler,
sont assez similaires.
J'aime le premier car il est
accompagné d'une jolie
petite histoire.
Donc, le premier s'appel
Achille et la tortue.
Achille et la tortue
font une course.
Evidemment, la tortue est
plus lente.
Donc elle part en avance
- elle part avec une avance
de 100 mètres - ,
puis la course commence.
Maintenant, Achille doit courir
100 mètres, et rattrape alors
la tortue.
Mais pendant ce temps, la
tortue a avancé..
Elle a avancé de 10 mètres.
Donc, Achille doit encore courir
pour rattraper la tortue
à nouveau.
Il cours donc les 10 mètres,
et rejoint l'endroit où
était la tortue.
Mais, pendant ce temps, la
tortue a encore avancé
d'1 mètre.
Donc Achille doit à nouveau
courir pour rejoindre là
où était la tortue.
Et l'opération se répète
encore et encore..
Le paradoxe est : est-ce que
Achille peut rattraper
la tortue?
Et c'est fou.
Evidemment, il peut!
Nous vivons tous dans le
monde réel.
Il va rattraper la tortue.
Un autre de ces paradoxes est
pratiquement le même, mais il
est légèrement plus simple.
Je vais tenir mes mains
écartés comme cela.
Maintenant, je vais laisser
ma main gauche ici,
et je vais bouger ma main droite
pour qu'elle aille taper dans
ma main droite.
Lorsque que je fais ça --
en fait,
on peut représenter ça par : je
parcours la moitié de la distance.
Puis je parcours la moitié à
nouveau, puis la moitié de la
distance encore, et encore,
et encore..
Je divise par 2 la distance
une infinité de fois,
et ce, une infinité de fois.
Donc, cela veut donc dire que
je n'applaudirai jamais ?
Il y aurait comme un champ
de force, empêchant mes
mes mains de se rencontrés?
Bien sûr, évidement qu'elles
vont le faire.
Voilà le paradoxe.
Donc, que ce passe-t-il
donc ?
Comment un processus infini
peut se terminer ?
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Que ce passe-t-il?
Cela fait parti des paradoxes
de Zenon.
Je vais vous donner le point
de vue d'un mathématicien
car, bon, certains dirons
que les mathématiciens
ont déjà régler cette question.
Disons que je commence avec mes
mains distantes de 2 mètres.
Puis,
And then I'm going to
join them together.
Donc, elles commencent distantes
de 2 mètres, puis je divise la
distance en 2. J'ai donc
parcouru 1 mètre.
Je divise en 2 à nouveau,
j'ai donc parcouru
1/2 mètre de plus.
Puis on recommence, on divise la
distance en 2 une nouvelle fois.
Maintenant, vos mains ont
parcourus 1/4 mètre.
Puis 1/8 mètre, puis 1/16,
puis 1/32..
Puis vous continuez à faire
ça pour toujours, divisant la
distance par 2 en continue.
Disons que tout ceci à
une valeur.
Donnons-lui une valeur.
Appellons-là S--
S pour "somme".
Il y a une petite astuce
à faire ici.
Premièrement, je vais multiplier
par 1/2.
Je vais tout multiplier par 1/2.
Donc si je multiplie le membre
gauche par 1/2, on a 1/2 de S.
Au membre de droite, je vais
multiplier chacun
des termes par 1/2.
Donc, 1 fois 1/2 = 1/2.
Je vais l'écrire ici
-- en laissant un
petit espace.
Maintenant, je vais multiplier
1/2 par 1/2,
ce qui donne 1/4.
Et je le fais terme par terme,
donc 1/4 fois 1/2 = 1/8,
et 1/8 fois 1/2 = 1/16.
Maintenant, je vais soustraire
ces deux lignes.
Si je soustrais les membres de
gauches, on a S - 1/2 S,
ce qui vaut 1/2 S.
Au membre de droite,
je vais soustraire les
deux lignes.
Donc on a 1.
Et on a 1/2 - 1/2, 1/4 - 1/4
1/8 - 1/8..
Ainsi, tous les termes s'éliminent.
Tout ce qu'il nous reste, c'est 1,
ce qui veut dire, si tout
s'annule, alors on peut savoir
ce que vaut S.
S est égale à 2.
Donc, cela veut dire 2 mètres.
Donc, vos mains doivent
parcourir 2 mètres.
Même si c'est un processus
infini, vos
mains parcoures bien 2 mètres.
Cependant, le temps est
important, également.
Si chaque étape prenait une
seconde, alors cela équivaut à
une infinité de secondes, où
même si c'était
plus long qu'une seconde.
Vous compléterez bien les
2 mètres, mais cela prendra
une infinité de temps pour
compléter les 2 mètres.
Donc le temps est également
important.
Donc disons que nous sommes
un petit peu plus rapide que ça.
Disons que je bouge à vitesse
d'1 mètre par seconde.
Donc je vais bouger mes mains
d'1 mètre par seconde
De la même façon, on a:
Si je divise la distance en 2,
cela me prend 1 seconde.
Et je divise à nouveau par 2
-- cela prend 1/2
seconde, puis 1/4 seconde.
Donc je peux parcourir 2
mètres en 2 secondes.
Et je peux donc applaudir.
Quelque chose comme cela-- une
suite infinie-- se comporte bien
si, quand vous faites la somme
et que vous ajoutez chaque terme
à la suite, vous obtenez plein
de sommes différentes
de plus en plus proche de
votre réponse.
Dans ce cas, si notre
somme partielle--
c'est comme ça qu'on l'appelle--
s'approche de plus en plus
d'une valeur, alors c'est une
somme qui se comporte "bien",
et jusqu'à l'infini, cela donne
exactement le résultat.
Et ce n'est pas juste que cela
s'approche de plus en plus sans
jamais atteindre ce résultat.
C'est exactement ce résultat-là.
Or, on dirait que je dis qu'il
est possible de compléter un
processus infini..
Pourtant, un processus infini n'a
pas de dernière étape.
Donc, comment quelque chose sans
fin peut être terminée ?
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Et voilà le paradoxe!
BRADY HARAN: Quoi--
y-a-t-il une solution?
DR. JAMES GRIME: Je n'ai aucune
réponse formelle pour vous ici.
C'est un paradoxe qui a dérouté
les philosophes et les
mathématiciens depuis près
de 2 500 ans.
Je lutte avec moi aussi.
Il y a de plus "grands esprits" que
vous et moi qui se sont cassés les
dents avec ce problème depuis
les 2 500 dernières années.
Si votre cerveau fume, ne vous
inquiétez pas !
Vous êtes en bonne compagnie.
BRADY HARAN: Certain de ces nombres
où les chiffres
semblent ne jamais se
terminer--
pi, racine carrée de 2--
comment entrent-ils là dedans?
DR. JAMES GRIME: Ouais.
Donc, si quelque chose est infini,
c'est un peut comme si vous demandez :
est-ce possible de représenter
quelque chose avec une écriture
décimale qui ne se termine
jamais ?
Et c'est le même type de
problème que nous avons là.
Mais, encore, même si le
processus est infini,
il peut être complété.
Et je sais que c'est bizarre.
Mais regardez.
Si je trace un triangle, qui a
une longueur unitaire ici et là.
Ceci est un angle droit.
Donc ceci à une longueur de
racine carrée de 2.
Et il n'y a pas de raison qui
m'empêche de le faire, même si
racine carrée de 2 est irrationnel,
ce qui veut dire que ses
décimales sont infinies.
Même si c'est le cas, rien
ne m'empêche de
tracer ce triangle!
De la même façon, rien ne m'empêche
d'applaudir avec mes mains.
On peut représenter ça par
un processus infini :
Je divise la distance en 2 une
infinité de fois.
Mais au final, j'applaudis.
Les mathématiciens du 19ème
siècle ont du travailler dur
lorsque ces suites infinies se
conduisaient "bien", et quand
elles se conduisaient "mal".
Et il y a beaucoup de détails
technique derrière tout ça.
Et il s'avère qu'il faut être
rigoureux et consistant, ce qui
est très important.
Mais certain des tests que nous
pouvons utiliser pour prouver
que quelque chose se conduit
"bien"--
en fait, c'est assez simple.
Je vais vous montrer.
Ce que vous pouvez faire, lorsque que
vous prenez l'un de ces termes--
What you can do is if you take
one of these terms--
Je vais d'ailleurs l'appeler
a--
vous prenez l'un d'entre eux,
le terme n.
a_n.
Vous divisez ce terme par celui
qui le précède. Et si
c'est négatif, eh bien alors,
vous prenez sa valeur absolue.
Si vous prenez ces nombres--
si ces nombres tendent vers
une valeur--
appelons là r, lorsque n
devient de plus en plus grand.
Si ces nombres tendent vers une
valeur, et si ce nombre est plus
petit que 1, alors c'est une
série qui se conduit "bien".
Alors c'est une série
qui se conduit "bien".
Pourquoi est-ce une série
qui se conduit "bien"?
Car si vous prenez l'un de ces
termes, et le divisez par celui
qui le précède, vous obtiendrez
toujours 1/2.
Regardez.
1/2 divisé par 1 = 1/2.
1/4 divisé par 1/2
vaut aussi 1/2.
Tout vaut 1/2 en fait.
On obtient un facteur
commun d'1/2--
un facteur commun 1/2
pour chacun des termes.
Ca a donc passé le test.
Et voilà le test.
C'est un test.
Donc il a passé le test.
C'est une série qui se
comporte "bien".
Si c'était plus grand que 1, alors
elle ne se comporte pas "bien".
Et cela peut dire que--
bon, cela peut dire qu'elle
va à l'infini.
Ou alors qu'elle est périodique,ou
quelque chose d'autre de bizarre.
Donc elle ne se comporte
pas "bien".
Et l'autre cas est si ce
nombre est égal à 1, on
ne sait pas.
Cela peut être n'importe quoi.
Cela peut être les deux.
Elle peut être "bien" comme ne
pas l'être.
Ca dépend..
Donc si r = 1,
on n'est pas sûr.
BRADY HARAN: Qu'est ce qu'une
série où r est plus grand que 1 ?
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Peux-tu me montrer ce qu'est une
série qui se comporte "mal" ?
DR. JAMES GRIME: Donc, si c'était
plus grand que 1, alors les termes
serraient de plus en plus
grand à chaque fois,
mais pas forcement avec un
facteur commun.
Bon, nous avons parler de la
séquence de Fibonacci plus tôt.
Si nous avions quelque chose
comme ça, comme 1,
et 1 et 2 et 3.
Si on les divisent, ils nous
donnent pas un facteur commun.
Mais en fait, le ratio tend vers
1,618, le nombre d'or.
Donc, 1,618 est plus grand que 1.
Et la série ne se comporterai
pas "bien".
Si vous faites la somme des nombres,
vous obtiendrez un nombre qui
tend vers + l'infini dans ce cas.
Et on appelle ça une série divergente.
Notre exemple lui, c'est une série
qui se comporte "bien".
Et on appelle ça une série convergente.
Ma question à un physicien serrait :
si on était pragmatique à ce propos
et que l'on considère le monde
réel, donc on divise vraiment
la distance en 2 encore et encore
un nombre infini de fois, ou que
l'on divise le temps que ça prend
pour compléter chaque étape jusqu'à
l'infini-- donc de plus en plus
vite, est-ce alors possible?
Est-ce possible de diviser le temps et
l'espace un nombre infini de fois ?
Je n'ai pas la réponse,
donc j'aimerai qu'un physicien
me la donne.
Nous sommes aussi là légèrement dans
le domaine de l'arithmétique,
celui que vous avez peut-être
atteint au lycée.
L'arithmétique vous aide à travailler
dans ce domaine en alignant les
bandes correctement ensemble.
Et tout ça dans le même domaine.
Newton et Leibniz ont essayés
d'additionner ces domaines,
prenant chaque bandes qui sont
très, très fines--
pas tout à fait 0, mais proche de 0.
Et cette idée fut remplacer plus ***
par ce que nous avons fait
ici, l'idée du 19ème siècle,
appelée les limites de suites.
Tout ça à donc pris énormément de
temps de travail..