Tip:
Highlight text to annotate it
X
Aujourd'hui, je vais essayer de
tordre un peu votre esprit.
Et j'espère qu'il y aura beaucoup de débats
dans les commentaires, YouTube étant le sanctuaire
des débats éclairés et perspicaces.
Donc j'espère qu'il y en aura.
La question est : Que vaut cette somme ?
C'est une somme très simple.
Elle commence par le nombre 1.
Auquel je vais soustraire 1.
Puis ajouter 1, puis soustraire 1 puis ajouter 1,
Puis soustraire 1, puis ajouter 1 puis soustraire 1.
Et je vais le faire indéfiniment.
Vous voyer l'idée, n'est-ce pas ?
Donc qu'est-ce que ça vaut ?
Une réponse possible est :
Si je mets des parenthèses comme ceci.
Ici, et ici, et ici, et ici
Chaque parenthèse contient 1 moins 1,
c'est-à-dire 0.
Donc on obtient 0 plus 0 plus 0 plus 0 etc.
Donc la somme vaut 0, n'est-ce pas ?
C'est une des solutions possibles.
Mais le problème est qu'il y a une autre solution.
Je vais recommencer, mais en mettant les parenthèses ailleurs.
Comme ceci.
Sans oublier le plus entre ces parenthèses. Ni entre celles-ci.
Donc on commence par 1, plus -1 + 1, c'est-à-dire 0,
plus -1 + 1
ce qui fait 0.
Et cetera, et cetera.
Toutes les parenthèses font 0.
Donc la somme de toutes les parenthèses fait 0.
Mais il y a un 1 au début.
Donc la somme vaut 1.
J'ai donc 2 résultats possibles :
0 en mettant les parenthèses ici.
Et 1 en mettant les parenthèses là.
Et il y a également une troisième réponse,
la plus étrange de toutes.
Notre somme est un nombre, appelons-la S.
Nous allons essayer de trouver la valeur de S.
C'est ce que nous voulons.
Considérons 1 moins S, c'est-à-dire 1 moins notre somme infinie.
Écrivons-la.
Plus 1 moins 1 plus 1 moins 1 etc.
Enlevons les parenthèses. Ce signe moins signifie que
tous les signes vont être inversés, on obtient donc
1 moins 1 plus 1 moins 1 plus 1 moins 1.
C'est ce qu'on obtient quand on enlève les parenthèses.
Mais j'obtiens au final la même chose que ce que j'avais au début.
C'est-à-dire cette alternance de 1 et de -1.
On obtient donc S.
On a donc 1 moins S est égale à S, n'est-ce pas ?
C'est plutôt bien.
On peut résoudre ça facilement.
Si je prends le S et que je le mets de l'autre côté,
j'obtiens 2S égale 1, et donc
S est égal à 1/2.
C'est une réponse vraiment étrange.
On obtient 1/2.
Ajouter des 1 et des -1
à l'infini donne 1/2.
Donc ça peut être 1,
ça peut être 0,
mais ça peut aussi être 1/2.
Celui qui a eu cette idée est un mathématicien italien
nommé Grandi.
Il a trouvé ça en 1703.
C'était un moine et un mathématicien.
Il faisait parti de ce type de personne.
Il a publié ça.
Et il a dit que c'était bizarre.
C'est 0.
C'est 1.
C'est 1/2.
Qu'est-ce que ça veut dire ?
La communauté mathématique a regardé ça.
Et s'est dite : bon, ça ne peut pas être 1/2, n'est-ce pas ?
Je veux dire, on a des 1 et des 0.
Ce serait très étrange.
Ce n'est pas possible.
Oh !
Attendez.
Ça conviendrait plutôt bien.
Ça peut être 1/2.
Il y a eu un débat là-dessus pendant longtemps
-- 150 ans il me semble --
un vrai débat jusqu'au XIXe siècle, siècle durant lequel
ces problèmes sur les sommes infinies ont été résolues.
La majorité des gens pense que 1/2 est la meilleure réponse.
J'aimerais vous montrer pourquoi ils pensent
que 1/2 est la meilleure réponse.
Et après ça, je vous montrerai autre chose
qui devrait complètement tordre votre esprit.
Si nous prenons une bonne somme infinie,
car il en existe des bonnes, et il en existe des mauvaises
En voici une bonne.
1 plus 1/2 plus 1/4 plus 1/8 plus 1/16.
On va calculer cette somme.
Je vais vous montrer comment le faire proprement.
Pour ce faire, il faut considérer des sommes partielles.
Nous allons calculer cette somme termes par termes.
Faisons simplement une liste de ces somme partielles.
Elle commence par 1.
Je la note.
Que vais-je obtenir si j'additionne les deux premiers termes ?
Je vais obtenir 1 plus 1/2.
C'est-à-dire 3/2.
Ou 1,5 si vous préférez.
Additionnons maintenant les trois premiers nombres.
Donc 1 plus 1/2 plus 1/4.
Ce qui est égal à...
7/4.
Soit 1,75.
Si j'additionne les quatre premiers termes...
15/8, ce qui fait 1,875.
Et si on continue encore un peu, on peut obtenir 63/32,
1,96875.
Comme vous pouvez le voir,
elles deviennent de plus en plus proches du nombre 2.
De manière générale, si on prend la n-ième somme partielle
Elle sera égale à 2 moins 1/n.
Et comme vous le voyez, plus n est grand, plus cette partie devient petite,
Elle finit par disparaître, et il ne reste finalement plus que 2.
Les mathématiciens en ont déduit que
la somme infinie totale valait 2.
Si nous essayons avec la somme de Grandi, ça ne marchera pas.
Regardez les sommes partielles.
La première est 1.
On ajoute les deux premiers termes,
et on obtient 0.
On ajoute les trois premiers termes, et on obtient de nouveau 1.
On ajoute les quatre premiers termes, et on retrouve 0.
Et ça continue d'alterner entre 0 et 1.
Et ça ne se rapproche jamais d'une valeur particulière.
Donc ça ne marche pas avec la somme de Grandi.
Je vais donc vous montrer une deuxième méthode
pour calculer une somme.
Je vais prendre les sommes partielles, et m'intéresser à leurs
moyennes.
Je vais juste calculer la moyenne au fur et à mesure que j'avance.
Je vais le faire pour les premières valeurs pour vous montrer l'idée.
Prenons la première.
C'est 1.
Je vais additionner les deux premières sommes partielles.
Donc 1 plus 1,5, puis calculer la moyenne.
Je divise donc par 2.
C'est donc 1 plus 3/2, et on fait la moyenne.
La moyenne est donc égal à 5/4.
Si je prends les trois premiers et que j'en fais la moyenne,
j'obtiendrai 1 plus 3/2 plus 7/4 divisés par 3.
Ce qui fait 17/12,
et voilà, vous voyez l'idée.
De nouveau, les nombres se rapprochent de plus en plus de 2.
C'est juste une autre méthode pour obtenir le même résultat.
Elle me donne aussi 2.
En général, on obtient 2 moins une certaine quantité.
Cette quantité n'est pas importante.
Regardez cette quantité.
Elle devient de plus en plus petite.
Et on obtient de nouveau la valeur 2.
C'est juste une autre façon de trouver la même solution.
Excepté que cette méthode peut être utiliser pour la somme de Grandi.
Essayons.
On fait les moyennes des sommes partielles.
Les sommes partielles sont là.
On commence avec 1.
Puis si on fait la moyenne de deux premières, on obtient
1 plus 0 divisés par 2, ce qui fait 1/2.
Prenons les trois premières, et en les divisant par 3 on obtient 2/3.
On prend les quatre premières.
1 plus 0 plus 1 plus 0
divisés par 4.
On a de nouveau 1/2. -- Si je l'écris bien --
Prenons les cinq premières.
Et vous devriez voir ce qui va se passer.
divisés par 5.
Ce qui est 3/5.
Et ça continue comme ça.
Vous allez obtenir 1/2, suivit de quelque chose comme 1/2
plus 1 sur 2n.
Et de nouveau, on a ici une quantité
qui devient de plus en plus petite.
Le tout tend vers 1/2.
Donc on se rapproche de plus en plus de 1/2.
C'est plus technique que l'autre méthode,
mais c'est une deuxième façon de calculer une somme.
On fait la moyenne des sommes partielles.
Sauf que ça marche pour la somme de Grandi.
Ça me donne 1/2.
Qu'est-ce que ça signifie ? Quelle est la différence ?
Cette deuxième méthode permet de calculer une somme
quand il y a une somme à trouver.
On a une limite quand on se rapproche de plus en plus
d'une certaine valeur.
La somme de Grandi n'a pas de limite,
car on ne se rapproche jamais d'une valeur particulière.
Mais on a cette deuxième façon de calculer une somme.
Qui donne presque une limite, sauf que ce n'est pas une limite.
C'est une fausse limite.
Une pseudo-limite.
Ça a toutes les propriétés d'une limite.
Ça fait la même chose qu'une limite.
C'est si proche d'être une limite, qu'on aboutit à des résultats
compatibles avec ceux obtenus avec de vraies limites.
Mais la différence est qu'on ne se rapproche jamais
d'une valeur particulière.
Pour vraiment tordre votre esprit, essayez d'imaginer ça.
Nous allons imaginer que nous faisons ça dans la vraie vie.
Imaginez une lampe.
Nous allons l'allumer et l'éteindre.
Vous l'allumez.
Et vous l'éteignez.
Nous allons suivre la série de Grandi, et à chaque fois
que vous voyez un 1, allumez la lampe.
À chaque fois que vous voyez -1, éteignez la lampe.
Donc vous allez l'allumer, l'éteindre,
l'allumer, l'éteindre.
Les sommes partielles permettent de dire si la lampe est allumée ou éteinte.
S'il y a un 1, c'est que vous venez de l'allumer.
S'il y a un 0, c'est que vous venez de l'éteindre.
Nous allons commencer une expérience.
Attendez une minute, puis allumer la lampe.
Attendez une demi-minute, et éteignez la lampe.
Attendez un quart de minute, et allumez la lampe.
Attendez un huitième de minute, et éteignez la lampe.
Vous allez l'allumer et l'éteindre, mais vous allez le faire
de plus en plus rapidement.
Vous le faites une infinité de fois.
Mais si on additionne les intervalles de temps : 1 minute plus 1/2 minute
plus 1/4 de minute plus 1/8 de minute
indéfiniment
on obtient 2 minutes.
En fait, il s'agit juste de la somme que j'ai calculée ici.
Si vous vous souvenez de notre vidéo sur le Paradoxe de Zénon,
On ne se rapproche pas de deux minutes,
On peut vraiment finir tout le processus en deux minutes.
Donc en deux minutes, vous venez d'allumer et d'éteindre
la lampe une infinité de fois, et vous avez fini le processus.
Après ces deux minutes, la lampe est allumée ou éteinte ?
Si la somme de Grandi vaut 0, cela signifie que la lampe est éteinte.
Si la somme de Grandi vaut 1, cela signifie que la lampe est allumée.
Si la somme de Grandi vaut 1/2, qu'est-ce que cela signifie ?
Que la lampe est à moitié allumée et à moitié éteinte ?
Qu'elle est allumée et éteinte en même temps ?
Qu'en pensez-vous ?
Il lui laisse prendre de l'avance.
Une avance de 100 mètres.
Puis ils commencent la course.
Achilles coure 100 mètres et arrive à l'endroit
où était la tortue.
Mais pendant ce temps, la tortue a avancé.