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Que vous l'aimiez ou pas, nous utilisons les nombres tous les jours.
Certains, tels que la vitesse du son, sont petits et pratiques à utiliser.
D'autres, tels que la vitesse de la lumière, sont beaucoup plus grands et peu pratiques à utiliser.
On peut utiliser la notation scientifique pour exprimer ces grands nombres dans un format beaucoup plus facile à gérer.
On peut écrire 299 792 458 mètres par seconde sous la forme 3 X 10 8 m/s.
La notation scientifique correcte exige que la valeur du premier terme soit supérieure à un, mais inférieure à dix,
et que le second représente la puissance de dix, ou l'ordre de grandeur, par lequel on multiplie le premier terme.
On peut utiliser la puissance de 10 pour faire des estimations rapides quand on n'a pas besoin de la valeur exacte d'un nombre.
Par exemple, le diamètre d'un atome est environ 10 - 12 m.
La hauteur d'un arbre est environ 10 1 m.
Et le diamètre de la Terre est environ 10 7 mètres.
La possibilité d'utiliser la puissance de 10 comme outil d'estimation peut s'avérer pratique de temps à autre,
comme quand on essaye de deviner le nombre de M&Ms dans un bocal.
Mais c'est aussi un savoir-faire essentiel en mathématiques et en sciences, particulièrement avec ce que l'on appelle les problèmes de Fermi.
Ces problèmes portent le nom du physicien Enrico Fermi, célèbre pour ses estimations rapides d'ordre de grandeur,
ou estimations rapides, avec des données apparemment peu disponibles.
Fermi a travaillé sur le projet Manhattan au développement de la bombe atomique,
et quand on l'a testée sur le site de Trinity, en 1945, Fermi a fait tomber quelques morceaux de papier au moment de l'explosion
et utilisé la distance latérale qu'ils ont parcourue en tombant pour estimer la force de l'explosion
à 10 kilotonnes de TNT, qui est du même ordre de grandeur que la valeur réelle de 20 kilotonnes.
Un exemple des problèmes d'estimation classiques de Fermi consiste à déterminer combien il y a d'accordeurs de piano à Chicago.
Tout d'abord, il semble exister tellement d'inconnues que le problème semble insoluble.
C'est l'application parfaite pour une estimation de puissance de 10, car on n'a pas besoin d'une réponse exacte.
Une estimation fera l'affaire.
On peut commencer par déterminer combien de personnes vivent à Chicago.
On sait que c'est une grande ville, on pourrait ne pas être sûr du nombre exact d'habitants.
Est-ce 1 million ? 5 millions ?
C'est à ce stade du problème que beaucoup sont frustrés par l'incertitude,
mais on peut facilement s'en sortir à l'aide des puissances de 10.
On peut estimer l'importance de la population de Chicago à 10 6.
Bien que ça ne nous dise pas exactement combien de personnes y vivent,
ça donne une estimation précise de la population réelle qui est un peu moins de 3 millions.
Alors, s'il y a environ 10 6 personnes à Chicago, combien y a-t-il de pianos ?
Si on veut continuer à utiliser les ordres de grandeur, on peut soit dire
qu'une personne sur 10 ou 1 sur 100 possède un piano.
Étant donné que notre estimation de la population inclut les enfants et les adultes, on penchera pour cette dernière estimation :
il y a environ 10 4, c'est-à-dire 10 000, pianos, à Chicago.
Avec autant de pianos, combien y a-t-il d'accordeurs ?
On pourrait commencer par réfléchir à la fréquence à laquelle on accorde les pianos,
combien de pianos sont accordés chaque jour, ou combien de jours un accordeur travaille,
mais ce n'est pas le but de l'estimation rapide.
On pense plutôt en ordres de grandeur : disons qu'un accordeur accorde environ 10 2 pianos par an,
soit environ quelques centaines.
Compte tenu de notre estimation précédente de 10 4 pianos à Chicago,
et de l'estimation que chaque accordeur accorde 10 2 pianos par an,
on peut dire qu'il y a environ 10 2 accordeurs à Chicago.
Je sais ce que vous devez penser :
comment toutes ces estimations peuvent-elles produire une réponse raisonnable ?
C'est plutôt simple : dans n'importe quel problème de Fermi, on suppose que les surestimations et les sous-estimations s'équilibrent
et produisent une estimation qui entre en général dans l'ordre de grandeur de la bonne réponse.
Dans notre cas, nous pouvons le confirmer en cherchant dans l'annuaire le nombre d'accordeurs de piano répertoriés à Chicago.
Que constatons-nous ? Il y en a 81.
C'est assez incroyable, compte tenu de notre estimation de l'ordre de grandeur.
Mais, bon, c'est la puissance de 10.