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Après la dernière vidéo, espérons que nous sommes un peu plus
à l'aise avec l'addition de matrices.
Apprenons maintenant la multiplication de matrices.
Et gardez à l'esprit que ce sont des définitions créées par l'homme pour
la multplication matricielle.
On aurait très bien pu inventer une manière complètement différente pour
les multiplier.
Mais je vous encourage à apprendre cette méthode parce que cela vous aidera
en cours de maths.
Et nous verrons plus *** qu'il y a en fait beaucoup
d'applications pour ce genre de multiplication
matricielle.
Laissez moi penser à deux matrices.
Je vais faire deux matrices 2 sur 2, et nous allons les multiplier.
Disons... prenons des chiffres aléatoires: 2,
moins 3, 7, et 5.
Et je vais multiplier cette matrice, ou ce tableau de
chiffres, fois 10, moins 8... prenons un bon chiffre
ici... 12, et puis moins 2.
Donc maintenant vous aurez peut-être envie... même si c'est
tout à fait normal de vouloir faire ainsi... de
faire la même chose en multiplication que ce que nous avons fait
avec l'addition, c'est-à-dire simplement multiplier les termes
correspondants. Vous serez donc peut-être tentés de dire que, le premier terme
ici, le terme en position 1-1, ou plutôt dans la première rangée et première
colonne, sera 2 fois 10.
Et dire que ce terme ci sera moins 3 fois
moins 8 et ainsi de suite.
C'est comme cela que nous avons additionné les matrices, donc peut-être que c'est
un raisonnement naturel que de multiplier les matrices de la même manière.
C'est légitime de penser ainsi.
On pourrait définir la multiplication ainsi mais ce n'est
pas le cas dans la vraie vie.
Et malheureusement, c'est en réalité
plus compliqué que cela.
Mais si vous regardez plusieurs exemples je
suis sur que vous comprendrez.
Et vous apprendrez que c'est en fait relativement
simple.
Alors comment le faisons nous?
Et bien ce premier terme dans la première rangée et première
colonne, est égal au vecteur de cette première
rangée.. je veux dire ce premier vecteur-rangée...
fois ce vecteur-colonne.
Mais qu'est-ce qu'il veut dire?
Je veux dire qu'il obtient les infos sur sa rangée de la première
rangée de la matrice, et qu'il obtient les infos sur sa colonne de
la deuxième colonne de la matrice.
Mais comment faire cela?
Si vous connaissez le produit scalaire, c'est essentiellement
le produit scalaire de ces deux matrices.
Ou plus simplement, c'est juste ceci: 2
fois 10, donc 2... Je vais écrire plus petit... fois 10, plus
moins 3 fois 12.
Je n'aurai plus de place.
Et donc que sera ce deuxième terme ici?
Nous sommes toujours dans la première rangée du vecteur produit mais
nous sommes à présent dans la deuxième colonne.
On obtient notre info sur la colonne ici.
Choisissons une bonne couleur... voici un mauve
légèrement différent.
Donc ce sera maintenant.... je vais le faire d'une autre
couleur... 2 fois moins 8... laissez-moi écrire le chiffre...
2 fois moins 8 donne moins16, plus moins 3 fois moins 2....
qu'est-ce que moins 3 fois moins 2?
plus 6 n'est-ce pas?
C'est donc ce qu'il y a rangée 1 colonne 2.
Moins 16 plus 6.
Descendons ici.
Nous sommes maintenant dans la deuxième rangée.
Nous allons utiliser... voici l'info sur
la rangée venant de la première matrice... Je sais que
c'est assez confus et je suis vraiment désolé, mais nous allons
voir plein d'exemples et vous comprendrez mieux.
Donc ce terme... celui en bas à gauche... sera cette rangée
fois cette colonne.
Donc ce sera 7 fois 10, donc 70, plus... 7 fois 10
plus 5 fois 12, plus 60
Puis le terme en bas à droite sera 7 fois moins
8, ce qui donne moins 56 plus 5 fois moins 2.
Donc moins 10.
Le produit final sera 2 fois 10 donne 20, moins
36, donc c'est moins 16, moins 16 plus 6, donc 10.
90... j'ai dit ça moi?
Non, c'est... 70, plus 60, ça donne 130.
Puis moins 56 moins 10, donc moins 66.
Et voilà.
Nous venons de multiplier cette matrice fois cette matrice.
Faisons un autre exemple.
Et je crois que je vais le faire ici
pour que nous puissions écrire un peu plus clair de ce côté.
Prenons cette matrice et maintenant 1,2,3,4, fois la
matrice 5,6,7,8.
Nous avons beaucoup plus d'espace pour travailler donc
ça devrait être plus propre.
OK, mais je vais faire la même chose, donc pour obtenir ce
terme ici... le terme en haut à gauche... nous allons prendre...
ou celui qui est de rangée 1 et colonne 1... nous allons prendre
l'info de la rangée d'ici, et l'info de la
colonne 1 ici.
Vous pouvez le voir comme un vecteur-rangée
fois un vecteur-colonne.
Donc les résultats sont, 1 fois 5 plus 2 fois 7.
Juste?
Et voila.
Et donc ce terme sera ce vecteur-rangée fois ce
vecteur-colonne... faisons le dans une autre couleur... ce sera
1 fois 6 plus 2 fois 8.
Laissez-moi l'écrire.
Donc c'est 1 fois 6 plus 2 fois 8.
Maintenant on descend à la deuxième rangée.
Et nous obtenons notre info rangée du premier vecteur-rangée...
je vais l'entourer en couleur... c'est 3 fois 5
plus 4 fois 7.
Puis nous sommes en bas à droite, donc nous sommes dans la
rangée du bas et la deuxième colonne.
Donc nous obtenons notre info rangée d'ici et notre
info colonne d'ici.
Donc c'est 3 fois 6 plus 4 fois 8.
Et si on simplifie, c'est 5 plus...
en fait, laissez-moi vous rappeler d'où viennent
tous ces chiffres.
Donc c'est vert, juste?
Ce 1 et ce 2, ce sont ce 1 et ce 2,
ce 1 et ce 2.
Juste?
Et remarquez qu'ils étaient dans la première rangée et qu'ils sont dans
la première rangée ici.
Et ce 5 et ce 7?
Et bien ce sont ce 5 et ce 7, et ce 5 et ce 7.
Hmm, intéressant.
Ceci était en colonne 1 de la deuxième matrice et ceci est
en colonne 1 de la matrice produit.
Et de même pour le 6 et le 8.
Donc ce 6, ce 8, qui sont ensuite utilisés ici, ce 6
et ce 8.
Enfin, ce 3 et ce 4 en brun, donc
ce 3, ce 4, et ce 3 et ce 4.
On pourrait en effet tout simplifier.
Donc 1 fois 5 plus 2 fois 7, donc c'est 5 fois 14,
donc 19.
Ceci est 1 fois 6 plus 2 fois 8, donc c'est 6 plus
16, ce qui donne 22.
Ceci est 3 fois 5 plus 4 fois 7.
Donc 15 plus 28, 38, 43... si je ne me trompes... puis nous
avons 3 fois 6 plus 4 fois 8.
Ce qui donne 18 plus 32, donc 50.
Laissez-moi vous demander... afin que vous sachiez que le produit
scalaire... écrivons proprement... est
19, 22, 43, et 50.
Donc laissez-moi vous poser une question.
Lorsque nous avons appris l'addition matricielle, en prenant deux
matrices, l'ordre importait peu.
Donc si je disait, A plus B, soit deux matrices... c'est pour ça que
je les fais épais... nous avons dis que c'est la même chose que
B plus A, selon notre définition de l'addition
matricielle, B plus A.
Laissez-moi donc vous poser une question.
Est-ce que multiplier deux matrices, est-ce que AB... qui veut juste dire
qu'on multiplie A et B... est-ce la même chose que BA?
Est-ce que cela importe?
L'ordre importe-t-il en multiplication matricielle?
Je vais donc vous dire qu'en fait, l'ordre est très
important.
Et en fait il y a des matrices que vous pouvez additionner dans
un sens mais pas dans l'autre... je veux dire que
vous pouvez multiplier dans un sens mais pas
dans l'autre.
Je vais vous montrer un exemple, mais juste pour
montrer que ceci n'est pas égal pour la plupart des matrices, je
vous encourage à multiplier ces deux matrices dans
l'autre sens.
En fait je vais le faire.
Je vais le faire très rapidement juste pour prouver
ce que j'essaie de dire.
Supprimons la partie au-dessus.
Supprimons tout cela, en fait, ceci aussi.
Donc j'espère que vous savez qu'en multipliant cette matrice
par celle-ci, on obtient ceci.
Echangeons l'ordre... et je vais le faire assez vite
pour ne pas vous ennuyer... donc laissez-moi échanger l'ordre de
la multiplication matricielle.
C'est bien parce que c'est un autre exemple... donc je vais
multiplier cette matrice: 5,6,7,8, fois cette matrice... et
j'ai inversé l'ordre, et nous allons tester pour voir si
l'ordre importe... 1,2,3,4.
Allons-y... mais je ne ferai pas toutes les couleurs etc,
je le ferai systématiquement.
Je pense que vous avez juste besoin de voir beaucoup d'exemples...
donc ce premier terme obtient son info rangée de la première
matrice, son info colonne de la deuxième matrice.
Donc c'est 5 fois 1 plus 6 fois 3, donc 5 fois 1...
Je vais juste écrire, en fait... edit.
Je vais sauter une é1tqpe ici... OK donc c'est 5 fois 1
plus 6 fois 3, plus 18.
Qu'en est-il du second terme ici?
Ce sera 5 fois 2 plus 6 fois 4.
Donc 5 fois 2 donne 10, plus 6 fois 4 donne 24.
Voila, nous venons juste de prendre cette rangée fois
cette colonne ici.
OK maintenant nous sommes ici en bas... donc nous
travaillons cette rangée; cet élément juste ici en bas à gauche utilisera
cette rangée et cette colonne.
Donc c'est 7 fois 1 plus 8 fois 3.
8 fois 3 donne 24.
Et enfin, pour obtenir cet élément on a simplement
multiplié cette rangée fois cette colonne, donc c'est 7 fois 2
ce qui donne 14, plus 8 fois 4, plus 32.
Donc c'est égal à 5 plus 18 donc 23, 34.
7 plus 24?
Cela donne 31, 46.
Remarquez donc, si nous appelions cette matrice A et
cette matrice B.
Dans l'exemple précédent, nous avons montré que A fois B donnait 19,
22, 43, 50.
Et nous venons de montrer que, si l'on inverse l'ordre, B
fois A et en fait cette matrice complètement différente.
Donc l'ordre dans lequel vous mutlipliez
les matrices est très importante.
Je suis presque à court de temps alors
dans la vidéo suivant, je vais parler un peu plus des
types de matrices.... enfin, un, nous savons que l'ordre importe...
et dans la prochaine vidéo je montrerai quel type de
matrices peuvent être multipliées entre elles.
Lorsque nous avions additionné et soustrait les matrices, nous avions juste dit
qu'elles devaient avoir les mêmes dimensions parce que vous
ajoutez et soustrayez des termes correspondants. Mais
vous verrez qu'avec la multiplication c'est un peu différent.
Et nous verrons cela dans la prochaine vidéo.
A bientôt.