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Perdu dans une grande forêt vierge, tu as mangé un champignon empoisonné.
Pour guérir, il te faut l'antidote secrété par une certaine espèce de grenouille.
Mais malheureusement seules les femelles produisent cet antidote,
et pour ne pas arranger les choses,
il y a autant de mâles que de femelles et ils ont le même aspect,
impossible de les distinguer,
sauf que le mâle coasse différemment.
Et c'est ton jour de chance.
A ta gauche, tu as repéré une grenouille sur une souche,
mais avant de courir l'attraper,
tu es surpris par le cri d'une grenouille mâle
venant d'une clairière dans la direction opposée.
Là, tu vois deux grenouilles,
mais tu ne peux pas dire laquelle a coassé.
Tu sens que tu tombes dans les pommes,
et tu réalises que tu ne pourras aller que dans une seule direction avant de mourir.
Quelles sont tes chances de survie si tu vas vers la clairière
et lèches les deux grenouilles ?
Et dans le cas où tu vas vers la souche?
Vers où devrais-tu aller?
Appuie sur pause maintenant pour calculer tes chances.
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Si tu choisis d'aller vers la clairière, tu as raison,
mais la difficulté est de calculer tes chances correctement.
Il y a deux façons courantes mais incorrectes de résoudre ce problème.
Mauvaise réponse numéro un :
sachant qu'il y a un nombre équivalent de mâles et de femelles,
la probabilité qu'une grenouille soit d'un sexe ou l'autre est d'un demi.
c'est-à-dire de 0,5 ou 50%.
et comme chaque grenouille est indépendante des autres,
il y a 50% de chance que ce soit une femelle à chaque choix.
En fait ce raisonnement est correct du côté de la souche,
mais pas pour la clairière.
Mauvaise réponse numéro 2 :
d'abord, tu vois 2 grenouilles dans la clairière.
Mais tu sais qu'au moins une des deux est un mâle,
mais quelle est la probabilité que les deux le soient?
Si la probabilité qu'une grenouille donnée soit un mâle est de 0,5
alors multiplier les deux ensemble te donnera 0,25,
c'est à dire une sur quatre, ou 25%.
Donc, tu as 75% de chances d’attraper au moins une femelle
et recevoir l'antidote.
Mais voici la bonne réponse :
Aller vers la clairière te donne 2 chances sur 3 de survivre,
soit à peu près 67%.
Si tu te demandes pourquoi,
c'est à cause de ce qu'on appelle la probabilité conditionnelle.
Voyons comment ça marche.
Quand tu vois d'abord les 2 grenouilles,
il y a différentes combinaisons possibles de mâles et de femelles.
Lorsqu'on en dresse la liste,
nous avons ce que les mathématiciens appellent l'espace d'échantillonnage,
et comme nous pouvons le voir,
parmi les 4 combinaisons possibles une seule a deux mâles.
Pourquoi la réponse 75% est mauvaise ?
Parce que le cri te donne une info supplémentaire.
Dès que tu sais que l'une des deux est un mâle,
ça t'apprend qu'il ne peut y avoir de paire de femelles,
donc tu peux éliminer cette possibilité de l'espace d'échantillonnage.
Il reste donc 3 combinaisons possibles.
Parmi elles, une a toujours deux mâles,
te laissant 2 chances sur 3 ou 67% d'avoir une femelle.
Voila comment marche la probabilité conditionnelle.
Il faut démarrer avec un large échantillon qui inclut toutes les possibilités.
Mais chaque info supplémentaire te permet d'éliminer les possibilités,
réduisant l'espace d'échantillons
et augmentant la probabilité d'obtenir la combinaison cherchée.
En fait, cette information modifie la probabilité.
La probabilité conditionnelle n'est pas qu'un jeu mathématique abstrait.
On s'en sert aussi dans le monde réel.
Les ordinateurs et autres appareils l'utilisent
pour détecter s'il y a des erreurs dans les séries de 0 et de 1
qui composent nos données.
Et dans plusieurs de nos choix de vie,
on utilise l'info tirée de nos expériences passées et de notre environnement
pour réduire nos choix aux meilleures options
pour que la prochaine fois,
on évite d'abord de manger ce champignon empoisonné !