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Qu'est-ce qu'une démonstration ?
Et pourquoi est-ce si important en mathématiques ?
Les démonstrations fournissent des bases solides pour les mathématiciens,
logisticiens, statisticiens, économistes, architectes, ingénieurs,
et de nombreux autres, pour construire et tester leurs théories.
Et c'est vraiment génial !
Laissez-moi commencer par le début.
Je vais vous présenter un type appelé Euclide.
Comme dans « À la tienne, Clid ».
Il vivait en Grèce il y a environ 2 300 ans,
il est considéré par beaucoup comme le père de la géométrie.
Donc si vous vous demandez à qui envoyer votre courrier de fan de géométrie,
Euclide d'Alexandrie est le gars à remercier pour les démonstrations.
Euclide n'est pas vraiment célèbre pour avoir inventé ou découvert beaucoup en mathématiques
mais il a révolutionné la façon dont on les écrit,
les présente et dont on y pense.
Euclide a entrepris de formaliser les mathématiques en établissant les règles du jeu.
Ces règles du jeu sont appelées axiomes.
Une fois que vous avez les règles,
Euclide dit qu'on doit les utiliser pour prouver ce qu'on pense être vrai.
Si vous ne pouvez pas, alors votre théorème ou votre idée
pourrait être faux.
Si votre théorème est faux, alors les théorèmes qui en découlent
et qui l'utilisent pourraient être également faux.
De la même façon qu'une poutre mal posée peut faire tomber toute la maison.
C'est à ça que servent les démonstrations :
utiliser des règles bien établies pour prouver sans l'ombre d'un doute qu'un théorème est vrai.
Ensuite vous utilisez ces théorèmes comme des briques
pour construire les mathématiques.
Regardons un exemple.
Disons que je veux prouver que ces deux triangles
ont la même taille et la même forme.
En d'autres termes, qu'ils sont semblables.
Eh bien, une des façons de faire ça c'est d'écrire une démonstration
qui montre que les trois côtés d'un des triangles
sont semblables aux trois côtés de l'autre triangle.
Comment le prouver ?
Tout d'abord, je vais écrire ce que je sais.
Nous savons que le point M est le centre de AB.
Nous savons également que les côtés AC et BC sont égaux.
Donc voyons. Que nous dit le milieu ?
Par chance, je connais la définition du milieu.
C'est tout simplement le point au milieu.
Ce qui signifie que AM et BM ont la même longueur,
puisque M est le milieu de AB.
En d'autres termes, les bases de chacun des triangles sont identiques.
Voilà la deuxième étape.
Génial ! Jusqu'à présent j'ai deux paires de côtés qui sont identiques.
Le dernier est facile.
Le troisième côté du triangle de gauche
est CM, et le troisième côté du triangle de droite est...
... eh bien est également CM.
Ils partagent le même côté.
Bien sûr, il est identique à lui-même !
On appelle ça une propriété réflexive.
Tout est identique à soi-même.
Voilà l'étape 3.
Et voilà ! Vous venez tout juste de prouver que les trois côtés du triangle de gauche
sont égaux aux trois côtés du triangle de droite.
De plus, les deux triangles sont congruents
d'après le théorème de congruence des triangles.
Quand on termine une démonstration, j'aime faire ce qu'Euclide faisait.
Il indiquait la fin de la démonstration avec les lettres QED.
C'est du latin pour « Quod erat demonstrandum »,
qui se traduit littéralement par
« ce qu'il fallait démontrer ».
Mais pur moi, c'est plutôt « Regardez ce que je viens de faire ! »
J'entends ce que vous pensez :
pourquoi est-ce que je devrais étudier les démonstrations ?
Une des raisons est qu'elles vous permettront de gagner n'importe quelle dispute.
Abraham Lincoln, un des plus grands leaders de notre nation
avait l'habitude de garder un exemplaire des sur sa table de chevet
pour garder son esprit en forme.
Une autre raison est que ça peut vous faire gagner un million de dollars.
Vous m'avez bien entendu.
Un million de dollars.
C'est la récompense que l'Institut de mathématiques Clay au Massachusetts
est prêt à payer à quiconque trouvera la solution à une des nombreuses conjectures
qu'on appelle « les problèmes du millénaire ».
Quelques-uns ont déjà été résolus dans les années 90 et 2000.
Mais au-delà de l'argent et des argumentations,
les démonstrations sont partout.
Elles sous-tendent l'architecture, l'art, la programmation informatique et la sécurité Internet.
Si personne n'avait compris ou ne pouvait faire les démonstrations,
nous ne pourrions pas faire avancer ces domaines essentiels dans notre monde.
Finalement, nous savons tous que l'on juge l'arbre à ses fruits.
Et ils sont délicieux. QED.