Comment compter Infinity

Aujourd'hui, nous allons compter jusqu'à l'infini. Compter pourrait sembler élémentaire, comme quand on dit qu'on a cinq moutons, ce qu'on veut dire, c'est qu'on a un mouton pour chaque nombre de un à cinq. Et dix moutons signifie un pour chaque nombre de un à dix. Donc on dit que deux ensembles on le même nombre de choses entre eux, simplement si on peut tracer une ligne reliant chaque élément d'un ensemble à quelque chose dans l'autre et vice-versa, de manière unique. Ils sont partenaires! C'est pareil quand on dit que deux plus un égalent trois, ou trois n'est pas égal à quatre: on décrit juste les lignes tracées qui relient un ensemble d'éléments à un autre. Mais de toute manière, compter les moutons, c'est barbant, à moins qu'on veuille compter une INFINITÉ de moutons. Si vous aviez un mouton pour chaque nombre entre 0 et 2, obtiendrez-vous plus de moutons que si vous en aviez un pour chaque nombre entre 0 et 1? Non! Car si vous reliez chaque nombre entre 0 et 1 à son double, ce qui vous donne chaque nombre entre 0 et 2 (et si vous vouliez "défaire" ça, vous pouvez juste diviser chaque nombre entre 0 et 2 par deux pour retrouver tous les nombres entre 0 et 1). Mais il y a plus de nombres réels entre 0 et 1 qu'il y en a dans l'ensemble infini d'entiers 1, 2, 3, 4, etc... Comment diable savons-nous ça? Il suffit de tracer quelques lignes. Pour "1", tracez une ligne vers un nombre entre 0 et 1. Et pour "2", tracez une ligne vers un autre nombre entre zéro et un. Pour "3", tracez une ligne vers un nombre entre... zéro et un. Etc... Quels que soient les nombres de 0 à 1 vers lesquels vous avez tracé des lignes, on peut toujours écrire un nombre entre 0 et 1 en changeant le premier chiffre ici, et le deuxième chiffre ici, et le troisième chiffre ici, etc… donc ce nouveau nombre sera différent de TOUS les autres nombres vers lesquels nous avons tracés des lignes. Mais nous avons déjà tracé une ligne depuis chaque entier, donc il n'en reste plus pour être le partenaire de ce nombre! De plus, à cause de la brillante façon avec laquelle on l'a construit, nous pouvons trouver un nombre en plus comme ceci et peu importent les autres nombres que nous avons choisi, ce qui signifie que nous ne pouvons JAMAIS tracer des lignes depuis les entiers jusqu'à l'ensemble des nombres entre 0 et 1 avec seulement une ligne par entier… Et cela signifie qu'il y a vraiment plus de nombres réels entre 0 et 1 qu'il y en a dans l'ensemble infini des nombres 1, 2, 3, 4, et ainsi de suite. Donc, Hazel Grace, certains infinis sont vraiment plus grands que d'autres infinis.