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X
--
Nous sommes au problème 48.
Il dit que si x au carré est ajouté à x, la somme est 42.
Écrivons cela en équation
Si x au carré est ajouté à x, la somme est égale à 42.
Laquelle des valeurs suivantes pourrait être la valeur de x?
Donc essentiellement, on veut seulement nous faire résoudre cette équation.
La façon la plus simple serait de l'écrire sous forme d'équation quadratique
égale à 0, et ensuite de la factoriser
Donc on peut l'écrire comme x au carré plus x moins 42
égal 0
Et refléchissons.
Quels deux nombres, lorsqu'on les additionne, donnent 1
et lorsque je les multiplie, donnent -42?
Le fait que lorsque je les multiplie j'obtiens -42
me dit que l'un d'eux doit être positif et l'autre
doit être négatif.
C'est la seule façon en multipliant deux nombres
d'obtenir un nombre négatif.
Donc, l'un est positif
et l'autre est négatif.
Et donc lorsqu'on additionne un nombre positif et un nombre négatif,
on est en fait en train de faire une différence entre deux nombres
Donc la différence entre ces deux nombres doit être 1
et leur produit doit être 42.
Et lorsque je vois 42, je pense automatiquement
Tiens, 6 et 7!
6 fois 7 donne 42.
Et puisque, quand on les additionne, on obtient 1 positif,
7 est probablement le nombre positif et moins 6 est probablement
le nombre négatif
Essayons.
x plus 7, fois x moins 6 égal 0.
Et c'est vrai, 7 fois moins 6 donne moins 42.
En fait c'est 7x plus (moins 6x) est égal à plus x.
On pourrait aussi se dire 7 plus multiplié par (moins 6) égal au
coefficient de x, qui est 1.
Mais en tout cas, ça fonctionne.
Et on pourrait les multiplier pour essayer.
Et tout ce que je dit, ce n'est pas de la magie.
La raison pour laquelle je dis que lorsqu'on les additionne on obtient 1
c'est que lorsqu'on effectue cette multiplication,
c'est ce qui donne ce terme là.
Ce 7x moins 6 fois l'autre x.
C'est ce qui donne ce terme quand on les multiplie.
Cette donnée vient de x fois x
Le -42 vient de 7 fois moins 6.
Maintenant que nous en sommes à ce point
On prend les deux éléments et quand
on les multiplie ensemble on obtient 0.
Cela signifie que l'un ou les deux
égaux à 0.
Ca veut dire que x plus 7 est égal à 0, ce qui veut dire
soustrayons 7 de chaque cotés.
Ce qui veut dire que x est égale à moins 7.
Ou x moins 6 est égal à 0.
Ajoutons 6 de chaque coté. x est égal à 6. x serait
donc 6 ou moins 7.
Et ils ont seulement un de ces choix ici,
qui est le choix A.
Problème suivant
49.
Quel quantité devrait être ajouté à chaque coté de cette équation
pour compléter le carré?
Donc quand vous completez le carré, vous voulez que
ce qui est du coté gauche
ressemble à un carré parfait.
Et qu'est-ce que je veut dire par un carré parfait?
Si j'ai x plus un carré, c'est égal à x plus a
fois x plus a.
Et c'est égale à x fois x, ou aussi x au carré.
x fois ce a, ce qui fait plus ax.
Et maintenant ce a la fois ce x.
Ca fait un autre ax.
Plus ce a fois ce a.
Donc plus a au carré.
Et c'est égal à x au carré.
Plus-- on en a deux comme ca -- plus 2ax plus a au carré.
Donc essentiellement nous voulons ceci, nous voulons que le coté gauche
ait cette forme.
Alors on dit: c'est un carré parfait.
On peut dire que c'est la meme chose que x plus a au carré.
Réfléchissons à la manière de faire ceci.
Si nous avons x au carré moins 8x est égal à 5 et je met un
espace ici pour une raison, parce que nous voulons ajouter ou
enlever quelque chose ici pour que ca ressemble à un carré parfait.
Réfléchissons-y.
quand on a ce type de résultat, pour que ce soit
un carré parfait, peu importe le coefficient que je pointe
ce terme à droite doit être la moitié de celui là, au carré.
a au carré est égal à la moitié de 2a au carré.
Par exemple en prenant la moitié de moins 8, ca fait moins 4.
Dans ce cas, si on dit que 2a est égal à 8
a serait égal à 4
Et donc (moins 4) au carré est quoi ?
Ca fait plus 16
Et ceci est une équation.
Donc quand on fait un coté de l'équation, il faut faire
l'autre coté de l'équation.
Donc il faut dire que ca aussi est égal.
Donc il faut ajouter 16 de chaque coté.
Sinon cela changerait l'équation.
Ca maintenant, j'espère que vous reconnaisez que c'est un
carré parfait.
Je veux dire vous pourriez regardez ce terme ici et
dire, OK, si j'ajoute moins 4 deux fois j'obtiens moins 8.
Et si je le multiplie par lui même j'obtiens 16.
Donc ceci est x-4 au carré.
C'est égal à 25.
Et en fait, si vous etes curieux -- et on a fait ça à
Khan Academy, on a fait plusieurs vidéos sur ca --
c'est comme ca qu'on prouve la forme canonique.
En fait, on complète le carré avec des nombres quelconques
a, b et c, et on obtient la forme canonique.
Vous voyez, on le fait en 10 minutes, donc
ce n'est pas quelque chose de très compliqué à comprendre.
Ils veulent juste savoir ce que vous ajoutez aux deux côtés
de cette équation?
Quelle quantité doit être ajouté des deux côtés de l'équation
pour compléter le carré
La réponse à cette question était donc 16.
Mais ils auraient très bien pu dire: résout la
en complétant le carré.
Et vous vous seriez dit: oh, x-4 au carré est égal à 25.
Donc x moins 4 est égal a plus 5 ou moins 5.
Et vous dites, x est égal a plus ou
moins 5 plus 4.
Et la vous diriez, ok ca fait 4 plus
5 soit 9.
et 4 plus (moins 4) -- ou moins 1.
Dans tous les cas, ils nous ont pas demandé, donc on n'a pas besoin
de passer trop de temps à y réfléchir.
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Voyons, nous en sommes au problème 50.
Alors, le problème 50.
Je vais copier coller le 50 et le 51.
Alors, quels sont les solutions à l'équation canonique
x au carré plus 6x est égal à 16
Et ce qu'on ce dit ici c'est vraiment d'essayer de résoudre
ca de la facon dont on résout une équation linéaire.
Je ne sais pas, factoriser par x et -- Je ne sais pas,
peu importe.
Mais la chose qu'il faut reconnaitre est
l'équation du second degré.
Et la facon la plus simple de résoudre cela et de mettre tous les termes
d'un coté pour obtenir 0 de l'autre coté
Et alors, soit on le factorise ou on utilise
l'équation du second degré.
Ou on compléte le carré, comme vous le voulez.
Donc, on soustrait 16 de chaque coté.
Et on obtient x au carré plus 6x moins 16 est égal à 0.
J'ai juste fais moins 16 de chaque coté pour y arriver.
Et avant de se lancer dans l'équation du second degré,
voyons plutot si on peut le factoriser à l'oeil.
Donc, quels nombres , lorsque je les ajoute, sont égal à 6
-- plus 6-- et quand je les multiplies, sont égal à -16?
Et encore une fois, puisque c'est moins 16, si on multiplie deux
nombres, on obtient un nombre négatif.
Donc ils doivent être de signe différent.
L'un doit être positif et l'autre négatif.
Et leur différence sera de 6 puisque l'un est positif et
l'autre négatif.
Réflechissons y.
Donc si j'avais moins -- alors, 8 fois 2 fais 16.
Et il y a 6 de différence entre les deux.
Donc si je fais plus 8 multiplié par moins 2 -- oui
Plus 8 et moins 2 donne plus 6.
donc c'est x+8 multiplié par x-2.
Et ca ne nécessite que pas mal de pratique.
Vous dites, ok quel nombres ?
16.
Ok.
8 fois 2.
Bon, ils doivent être de signes différents.
Mais j'ai un plus un ici, donc peut importe le nombre
si il est plus grand, sera probablement le nombre positif.
Donc plus 8 et moins 2.
Oui, quand on les ajoute, ca fait bien moins 6.
Oui ca marche.
Donc on pose ca égal à 0.
Et vous vous dites, ok , ce terme doit être égal à 0, ou ce terme doit
être égal à 0.
Donc x est égal à plus ou moins 8.
Si on se dit x plus 8 est égal à 0 alors on enlève 8 des deux
cotés, et on obtient x égal à moins 8.
Je n'aurais pas du sauter cette étape, mais
je vais faire cette étape maintenant.
Ou on peut se dire x moins 2 est égal à 0.
Ajoutons 2 à chaque coté, on obtient x est égal à 2.
Quel x fait que ce terme est égal à 0.
Et on peut regarder comme ca.
Donc x peut être égal à moins 8 ou 2, et c'est le choix C.
Problem 51.
Jeanne a correctemment résolu l'équation x au carré plus 4x
est égal à 6 en complétant le carré.
Quelle équation fait partie de la solution ?
Ok, alors faisons la même chose.
x au carré plus 4x.
Et quand on complète le carré on va ajouter
quelque chose ici.
Donc je vais y laisser un vide.
Est égal à 6.
Donc que pourrais-je ajouter ici qui ferait que cette expression est l'air
d'un carré parfait ?
Voilà, on se retrouve au type d'équation qu'on avait
sur les derniers problèmes.
Peu importe ce qui est ici doit être le carré de la moitié de ca.
Donc 4-- oui la moitié de ca donne 2.
2 au carré vaut 4.
Donc je dois ajouter 4 de chaque coté.
Si j'ajoute 4 de ce coté, je dois ajouter 4
de ce coté là aussi.
Et maintenant, ce 2 plus ce 2 donne 4.
2 fois 2 font 4.
Donc ca fait (x+2) au carré.
Et j'aimerai vraiment que vous ayez l'intuition.
Ne mémorisez pas les étapes pour compléter le carré.
J'aimerais que vous compreniez pourquoi.
Ceci est le carré de la moitié de cela.
Et on l'a montré au début.
Mettez au carré plusieurs nombres et voyez que
ca sera toujours le cas.
Soit, donc ca fait x+2 au carré.
Ca va être égal à -- 6 plus 4 est égal à 10.
Donc c'est la réponse B.
--
Je pense qu'on a encore le temps pour un autre problème.
Un autre, problème 52.
Je l'ai déjà copié et maintenant je l'ai collé.
Cartier est en train de résoudre cette équation en la factorisant.
Quelle expression pourrait être un des facteurs corrects.
Encore une fois, j'aime séparer chaque
nombre qui va dans chaque terme.
Et tous sont divisibles par 5.
Et ca se simplifie dans ma tête.
Donc si je divise tout les nombres par 5 -- En fait, je pourrais
diviser chaque coté de l'équation par 5.
0 divisé par 5 donne 0.
Et alors le coté gauche divisé par 5 devient 2x
au carré moins 5x plus 3 est égal à 0
Si on a 2x au carré ici, cela va donner deux
numéros lorsque vous multipliez les 3 égale et que vous--donc
réfléchissons un peu à ça.
En fait, laissez moi l'écrire ici, parce-que je pense que je vais avoir besoin de plus
de place
2x au carré moins 5x plus 3 est égal à 0.
Et j'ai juste divisé les deux cotés de l'équation
par 5 pour obtenir ceci
Voyons ce que nous pouvons faire.
Donc, nous avons un 2x au carré ici et ils nous ont dejà en quelques-sortes
indiqué que nous allons avoir un résultat entier,
donc nous pouvons factoriser ça.
l'intuition est qu'il sera 2x fois-- donc,
quelque chose
plus a
fois, donc, quoi?
probablement x, oui?
2x fois x est 2x carré,
mais il ne serait pas complètement evident si ils
ne nous ont pas indiqué que nous puissions factoriser ceci.
il faudrait utiliser une
équation quadratique ou quelque chose.
Actuellement, l'équation quadratique ne serait pas quelque chose
fou d'utiliser ici parce qu'on peut
on peut "plug et chug"
Mais voyons si nous pouvons attenir l'intuition.
Donc, il sera 2x plus quelque chose fois x plus
quelque chose d'autre.
Si on multiplie, on vois que 2x fois x est 2x carré
proprement.
2x fois b est plus 2bx,
a fois x est plus ax.
a fois b est ab.
Voyons ce que nous recevrons.
Nous recevrons
Alors, plus 2b plus ax plus ab
2x carré
Maintnant, on peut faire le filtrage par motif.
C'était notre chose originale.
Donc 2 fois b plus a doit être égal à-- cette terme est le
même chose que cette terme ici.
Et cette terme doit être le même que
cette term là.
Premièrement, j'ai un +3 ici,
alors je multiplie deux nombres, et je reçoit +3.
Alors ils sont tous les deux positifs ou négatifs.
L'autre chose est que nous avons-- quand je fait
2 fois une autre elles, plus l'autre, je
reçoit un nombre négatif.
Donc, le seule façon quand on a les nombres négatifs,
et quand on multiplie par un positif et les adjoute ensembles,
on reçoit un autre nombre négatif, comme s'ils sont
tous les deux négatifs.
Ceci nous a dit que les deux doivent être négatifs
parce que celle-ci est positif.
Et quand on les adjoute sans négatifs
on reçoit un nombre négatif, ça veut dire que cela
doit être négatif aussi.
Voyons,
Essayons négatif 3 et négatif 1.
négatif 3 et négatif 1...
Alors on a raison,
oui.
Si b est égal à négatif 1 et a est égal à négatif 3,
2 fois négatif 1 est négatif 2.
moins 3.
Oui, alors b est égal à négatif 1 est a est égal à négatif 3.
Ceci c'est une forme d'art.
Ce n'est pas "plug et chug", façon méchanique
de résoudre ce problème.
L'équation quadratique est un, mais ceci est le meilleur façon que,
au moins, je connais comment faire ces problèmes
Donc, nous savons a est b,
et c'est 2x-- a est négatif 3,
2x moins 3 fois x plus b. b est moins 1.
C'est donc la factorisation.
Alors 2x moins 3 fois x moins 1, lequel?
Ils ont celui-ci juste ici.
2x moins 3.
Mon temps est écoulé.
On se voit à la prochaine vidéo.