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Reprenons la sphère S2 avec ses parallèles.
Au-dessus de chaque point de S2,
nous devons imaginer un cercle de Hopf.
Observons ce que nous avons au dessus d'un des parallèles de S2,
par exemple l'équateur.
Voici ce qui est au dessus d'un autre parallèle
qui se déplace vers le sud.
Pourquoi le tore semble-t-il devenir tout fin ?
Parce qu'au dessus du pôle sud,
Il n'y a bien sûr qu'un seul cercle.
Et au dessus du pôle nord, on voit une droite,
en fait un cercle qui passe par l'infini, c'est la droite rouge !
Allez, faisons tourner tout ça maintenant.
Des rotations, oui, mais des rotations
de l'espace de dimension 4, bien entendu.
Pour être honnête, je dois dire qu'une partie de ces figures
était déjà connue bien longtemps avant moi.
On attribue au marquis de Villarceau
l'existence de quatre familles de cercles sur le tore,
mais on en trouve en fait des indices par exemple
dans une sculpture de la cathédrale de Strasbourg.
Prenons un tore de révolution :
c'est la surface décrite par un cercle
qui tourne autour d'un axe situé dans son plan.
Observons la section du tore par un plan.
Remarquez ici comment j'ai choisi le plan.
On dit qu'il est bitangent au tore,
tout simplement car il est tangent en exactement deux points.
Mais regardez bien alors,
le plan coupe le tore sur deux cercles parfaits.
Ceci est le théorème de Villarceau :
un plan bitangent à un tore le découpe sur deux cercles.
Bien entendu, il n'y a pas qu'un seul plan bitangent.
En voici un autre qui coupe sur deux autres cercles de Villarceau.
Et on peut faire la même chose pour tous les plans bitangents :
il suffit de faire tourner.
Vous voyez, par chaque point d'un tore de révolution
on peut faire passer quatre cercles,
obtenus en coupant par des plans judicieux.
L'un de ces cercles est un parallèle,
un autre est un méridien,
puis un premier cercle de Villarceau
et un deuxième.
Et comme on peut faire la même chose pour n'importe quel point du tore,
on voit alors que le tore est recouvert par quatre familles de cercles.
Deux cercles d'une même famille ne se rencontrent pas.
Un cercle bleu rencontre un cercle rouge en un seul point.
Un cercle jaune et un cercle blanc se rencontrent en deux points :
ce sont des cercles de Villarceau.
Regardez bien les cercles jaunes :
ce sont des cercles de Hopf !
Vous vous souvenez quand nous observions
ce qui est au dessus d'un parallèle dans la fibration ?
On voyait un tore rempli par des cercles enlacés deux à deux,
tout comme ce tore rempli par ces cercles jaunes.
Et les cercles blancs me direz-vous ?
Eh bien, ce sont les fibres d'une autre fibration de Hopf !
celle qui est obtenue en regardant la première dans un miroir...
Pour terminer notre promenade,
nous allons prendre un tore de révolution,
avec ses quatre familles de cercles,
l'imaginer dans la sphère S3,
puis faire tourner la sphère dans l'espace de dimension 4,
et enfin la projeter stéréographiquement
dans l'espace de dimension 3.
On obtient ainsi des surfaces
qui sont également recouvertes par quatre familles de cercles :
ce sont les cyclides de Dupin.
Parfois, lorsque le tore passe par le pôle de projection,
la surface passe par l'infini...
Dans ce mouvement, les deux faces peuvent même être interverties.
L'intérieur du tore est en rose, l'extérieur est en vert.
Une simple rotation dans la quatrième dimension et hop !
le vert devient rose et le rose devient vert.
N'est-ce pas magnifique ?!