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X
alors, quelques vidéos plus tôt, je vous ai dit que "n'importe quoi" exposant 0 est égal à 1.
Donc x à la puissance 0 est égal à 1
Et je vous ai donné un argument de pourquoi c'est le cas
J'ai utilisé cet example : si on a 3 à la première puissance
c'est égal à 3
3 à la deuxième puissance, c'est égal à 9
3 à la troisième puissance, c'est égal à 27
Donc à chaque fois que l'on descend d'une puissance, on divise par 3
diviser 27 par 3 vaut 9
diviser 9 par 3 vaut 3
et donc diviser 3 par 3 vaut 1
Et cela explique pourquoi 3 à la puissance 0 vaut 1
C'est une des façon d'y réfléchir
Voici une autre façon d'y réfléchir , pour cela nous avons besoin
des propriétés des exposants
Par exemple, je vous ai dit que a exposant b fois a exposant c est
égal à a exposant b plus c
Maintenant, qu'est ce qui arrive si c vaut 0?
qu'est ce qui arrive si on a a exposant b fois a exposant 0?
Bon, par cette propriété, cela doit être égal à a exposant b plus 0
qui est égal à a exposant b
Donc a exposant b fois a exposant 0 doit être égal à a exposant b
Si on divise les deux cotés par a... je le réécris
a exposant b fois a exposant 0 si on utilise cette propriété
juste au dessus, doit etre égal a a exposant b, non? b plus 0 is b.
si on divise les deux cotés par a exposant b, qu'obtient-on?
A gauche, il nous reste
juste a exposant 0 non?
cela s'annule
a exposant 0 est égal à 1
Et on peut utiliser un argument similaire dans beaucoup de
propriété sur les exposants, Ce qui explique pourquoi "n'importe quoi"
exposant 0 sera égal à 1
Et cela est confirmé aussi car en divisant par 3 étape par étape
on obtient 1
cela fonctionne
quand on prend 3 exposant -1, on a vu
dans des vidéos précédantes, que cela était égal à 1 divisé par 3 à la première
puissance, ou un tier
Donc, de 3 exposant 0 à un tier, on
a diviser par 3 encore
donc cela confirme que 3 exposant
0 est égal à 1
...
Et 0 à la puissance 0?
Ca c'est une notion très étrange
0 multiplié par lui meme 0 fois
Et cela dépend du contexte que l'on utilise
Parfois des gens diront que c'est indéfini, mais la
plupart du temps, dans mon expérience, cela sera défini
comme étant égal à 1
Et la raison pour laquelle - même si cela n'est absolument pas
intuitif, et vous pouvez taper 0 exposant 0 dans
Google, et cela vous donnera 1.
Même si cela n'est pas du tout intuitif, la raison
est que cela permet à beaucoup de
formules de fonctionner.
une en particulier est la formule binomial pour
les coefficiants, que je ne vais pas développer ici,
ou 0 exposant 0 est égal à 1
C'est une chose interessante que de penser à cela
et à ce que cela pourrait signifier
Alors, parlons des autres propriétés
Et l'on peut les mettre toutes ensemble dans quelques
Problèmes. J'ai parlé dans une vidéo précédante de la
signification de mettre à une puissance négative
a exposant -1 , ou peut être devrais-je dire
a exposant moins b est egal à 1 divisé par a exposant b.
Faisons cela avec quelques exemples concrets
3 exposant -3 est égal à 1 divisé par 3 exposant 3
qui est égal à 1 divisé par 3 fois 3 fois 3
qui est égal à 1 divisé par 27
Si je te demande combien vaut un tier exposant moins 2?
Alors, cela sera égal à 1 sur un tier à la
puissance 2
Tu élimines le signe moins et tu inverses la fraction
Donc cela sera égal à 1 sur
C'est un tier fois un tier
un neuvième
Qui est égal à ... C'est 1 divisé par un neuvième
C'est la même chose que 1 fois 9, donc c'est égal à 9.
Et cela a du sens, car un tier - souviens toi, un tier est
la même chose que 3 à la puissance -1 non?
3 exposant -1 est égal à 1 sur 3 exposant 1
qui est la même chose que un tier
Donc, si on remplace un tier par 3 exposant -1, cela fait 3
exposant -1 le tout exposant -2
C'est deux écritures sont équivalentes
Et si nous utilisons une propriété que l'on a appris dans les
premières vidéos, on peut prendre le produit
de ses deux exposants
Donc cela vaut 3 exposant moins 1 fois moins2
qui sera plus 2, ainsi le tout sera égal à 9
Donc voilà comment toutes les propriétés des exposants
se combinent toutes ensemble pour former un puzzle
et elles ne se contredisent pas les unes les autres
Et cela n'a pas d'importance par quel propriété tu commences
tu auras la bonne réponse à la fin, pourvu que tu ne
fasse pas quelquechose de fou
Maintenant, la dernière chose que je veux définir
Sont les exposants fractionnaires
Donc j'ai quelquechose avec un exposant fractionnaire
Disons que nous avons a exposant 1/b
Je vais définir ceci
cela va être égal à la racine "bième" de a
Je vais être plus clair
Fesons le avec un exemple numérique
si je dis 4 exposant un demi, cela signifie
que j'ai la racine carrée de 4
qui est égal à , si on prends la racine principale
à 2
Prenons maintenant 8 exposant un tier
cela fait la racine cubique de 8
Cela fait partie des choses souvent
les plus confuses
quel nombres multiplié 3 fois par lui même
est égal à 8?
Donc si on dit que x est égal à 8 puissance 1/3,
c'est exactement la meme chose que de dire
x exposant 3 est égal à 8
Et comment peut on dire que les deux parties sont équivalentes?
Je peux prendre les deux parties de cet équation
exposant 3
Si je prends le membre de gauche à la 3ème puissance
et le membre de droite à la troisième puissance, qu'ai-je?
à gauche, j'ai x exposant 3
A droite, j'ai 8 exposant un tier fois 3
ce qui fait 3 divisé par 3, égal à 1
donc x égal 8 exposant un tier, quelle est la valeur de x?
donc 2 fois 2 fois 2 est egal à 8
Et il n'y a pas de façon facile de calculer, même quand on a des
racines 4ème, ou 5èmes et qu'on a des décimales
en calculant cela.
Tu auras probablement besoin d'une calcultrice la plupart du temps pour faire cela.
mais des calculs comme 8 exposant 1/3, 16 exposant 1/4, 27 exposant
1/3, cela n'est par trop dur à calculer
donc ici, cela fait 2
maintenant, nous allons faire un peu plus difficile
que fait 27 exposant 1/3?
bon, ne t'inquiete pas
on va le faire étapes par étapes
quand on applique la puissance négative, c'est tout
à fait équivalent à 1 sur 27 exposant 1/3
ces 2 sont équivalents
on se débarrasse du négatif et on met 1 sur
tout le reste
et ensuite, que fait 27 à la puissance 1/3?
quel nombre multiplié 3 fois par lui meme est égal à 27?
et bien il est égal à 3
donc cela sera égal à 1 sur 3
pas si mal
Maintenant, je vais prendre un niveau supérieur,
plus difficile
fesons quelquechose d'interressant
que vaut 8 exposant 2/3 ?
Cela semble un peu effrayant.
Et tout ce que tu dois te rappeller c'est que c'est la même choses que
En utilisant les règles des exposants, que 8
au carré exposant 1/3
Comment je sais ça?
Et bien, si je multiplie ces 2 exposants, cela fait 2/3
Donc 8 exposant 2/3 est égal à 8 au carré et ensuite
la racine cubique de tout cela
mais on aurait pu le voir d'une autre façon
cela aurait pu être 8 exposant 1/3 le tout au carré
parce que la aussi, en multipliant les exposants
on obtien 8 exposant 2/3
Vérifions par nous même que ce que nous faisons
nous donne les même valeurs
donc 8 au carré vaut 64
et nous allons prendre ceci à la puissance 1/3
de l'autre coté nous avons 8 à la puissance 1/3
on a déjà vu ce que cela fesait
c'est 2 puisque 2 exposant 3 est égal à 8
donc cela fait 2 au carré
maintenant, que fait 64 à la puissance 1/3
quel nombre multiplié 3 fois par lui même est égal à 64?
Et bien 4 fois 4 fois 4 est égal à 64, ou 4 à la 3 ème
puissance est égal à 64, ce qui signifie que 4 est égal
à 64 a la puissance 1/3
donc cela est égal à 4
et on a de la chance, car 2 au carré est aussi égal à 4
Donc le résultat ne dépend pas du chemin que tu empruntes
On peut prendre le carré et puis la racine cubique, ou
on peut prendre la racine cubique et puis le carré
on arrive à la même réponse exactement
Tout ce que nous avons fait
etait avec des exemples chiffrés
fesons maintenant quelques problèmes
avec des variables
Alors, nous allons simplifier quelques expressions et nous voulons
être sur qu'il n'y aura pas d'exposant négatif
dans la réponse
alors, prenons x exposant -3 divisé par x exposant -7
Voyons plusieurs manières de résoudre cela
on peut voir cela comme égal à x exposant -3 fois
1 sur x exposant -7
et que vaut 1 sur x exposant -7?
C'est la même chose que x exposant 7 non?
Si on a 1 sur '"quelque chose", on peut éliminer le 1 sur
et mettre un moins devant l'exposant
mais ici, on met un moins devant
un moins 7, et on aura ainsi x exposant 7
Donc on peut simplifier l'expression à x exposant -3
fois x exposant 7
et on peut alors additionner les exposants
et on a donc x exposant 4
Maintenant un autre chemin tout à fait légitime
que l'on aurait pu prendre : c'est de soustraire les exposants
on aurait pu dire que l'on a la même base,
cela ferait x exposant -3 moins
-7
-3 - (-7), cela vaut
-3 + 7 qui est égal à x exposant 4
Et donc une dernière façon de faire - il y en a encore d'autres-
on pourrait le faire finalement comme ceci
on peut dire x exposant -3 sur x
-7 --pardon, pas de x négatif-- sur x
exposant -7
donc x exposant -3 c'est la même chose que 1 sur x
exposant 3 - ça c'est ce terme ci- fois 1 sur x
exposant -7. donc cela peut être égal à
1 sur x exposant 3 fois x exposant -7
on peut additionner les exposants, donc c'est égal à 1 sur 3
moins 7 c'est à dire x exposant -4
Et cela, si l'on inverse la fraction
on peut mettre un moins devant l'exposant
negatif qui devient alors positif. Cela devient
égal à x exposant 4
donc, la manière dont on le fait n'a pas d'importance,
du moment que l'on applique bien les règles, on obtient x exposant 4
Faisons encore un exercice un peu plus pointu
et puis on aura fini
Disons que nous avons 3 x au carré fois y exposant 3/2
Et on va le diviser par x fois y exposant 1/2
Alors, une fois de plus, c'est la même chose que 3 fois
les termes en x, donc 3 fois x au carré sur x, fois
y exposant 3/2 sur y exposant 1/2
Donc cela va faire 3 fois ... que fera x au carré
sur x ?
x carré sur x exposant 1?
cela sera égal à x exposant 2 moins 1
et cela sera multiplié à y exposant 3/2 moins 1/2
que devient l'ensemble?
Cela devient 3 fois x
2 moins 1 vaut juste 1, donc je peut juste noté x ici
et 3/2 moins 1/2 vaut 2/2
donc on a y exposant 2/2
2/2, c'est juste la même chose que y
donc cela est équal à 3 x y
Quoi qu'il en soit, je vous encourage à faire beaucoup, beaucoup
Beaucoup d'exercices de cet sorte
Mais, vous verrez que juste en utilisant les règles que nous avons
exposé dans les dernières vidéos, vous pourrez
simplifier facilement une expression avec des exposants.
Dans les dernières vidéos, je vous ai dit que "n'importe quoi" exposant 0 est égal à 1