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X
Notre fonction f est définie par racine de x
sur l'intervalle 0 ≤ x ≤ 1
et par ax^2+bx+1 pour x>1.
On souhaite trouver a et b,
de sorte que la fonction f soit dérivable
pour tous les réels strictement positifs.
Tout d'abord, il est clair que f est continue et dérivable
sur l'intervalle ouvert 0 ≤ x ≤ 1,
et sur l'intervalle 1+ l'infini
puisqu'elle est définie par racine de x
qui est dérivable pour tous les x
compris entre 0 et 1 strictement.
Attention, racine de x n'est pas dérivable en 0
puisque cela correspond à une tangente verticale.
La fonction ax^2+bx+1 est bien dérivable partout
et donc pour tous les x>1.
Le but de l'exercice est de prolonger
notre graphe bleu de racine de x
par une branche de parabole, la branche qui convient,
de sorte que la fonction devienne dérivable partout.
Avant de s'intéresser à la dérivabilité,
on va regarder la continuité.
On va regarder la limite à gauche en 1.
Pour x