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La dimension deux
Je m'appelle Hipparque.
J'ai vécu au deuxième siècle avant Jésus-Christ et,
sans modestie de ma part,
je dois vous dire que je suis le fondateur de la géographie et de l'astronomie.
J'ai écrit au moins quatorze livres
mais malheureusement presque tous ont disparu.
On me doit le premier catalogue d'étoiles,
la création de la trigonométrie,
l'invention de l'astrolabe.
Heureusement, mon génial successeur Ptolémée,
trois siècles plus ***,
s'est largement inspiré de mes travaux
au point que les historiens ont parfois du mal
à faire la part des choses entres ses contributions et les miennes.
Son traité l'Almageste est le premier traité d'astronomie scientifique,
son livre La Géographie contient la première
carte du monde connu à l'époque.
La géographie et la géométrie sont deux sciences qui s'intéressent à la Terre.
Étymologiquement, la géo--graphie essaye de la dessiner
et la géo--métrie essaye de la mesurer.
La Terre a presque la forme d'une sphère.
Nous allons négliger le fait qu'elle est légèrement aplatie aux pôles
et considérer sa surface comme une sphère parfaite.
Rappelez-vous que dans une sphère,
tous les points sont à la même distance du centre.
La flèche que vous voyez,
qui part du centre et va jusqu'à un point mobile sur la sphère
a une longueur constante.
Choisissons un axe pour la sphère : c'est une droite qui passe par le centre.
Si l'on coupe la sphère par un plan qui contient cet axe,
la découpe se fait suivant un grand cercle,
qui lui même décompose la sphère en deux hémisphères.
Si l'on tranche maintenant la sphère
en utilisant une sorte de guillotine qui glisse le long de l'axe,
on dessine des méridiens.
Ce sont des demi-cercles
dont les extrémités sont situées au pôle nord et au pôle sud.
Maintenant si l'on tranche la sphère
par un plan perpendiculaire à l'axe,
on définit des cercles qu'on appelle des parallèles.
Ainsi, la sphère est recouverte par deux réseaux de courbes,
les méridiens et les parallèles.
L'un des parallèles est bien connu :
c'est l'équateur, à mi-chemin entre les deux pôles.
L'un des méridiens a été choisi comme origine.
Pour des raisons historiques,
il passe par l'observatoire de Greenwich, en Angleterre.
Pour décrire la position d'un point sur la Terre,
on peut se placer à l'intersection de l'équateur
et du méridien de Greenwich,
et suivre l'équateur pendant une certaine distance
mesurée par un angle représenté ici en rouge : la longitude,
et ensuite remonter le long d'un méridien sur un autre angle,
représenté en vert : la latitude,
jusqu'à atteindre la destination souhaitée.
Chaque lieu sur la Terre est donc parfaitement déterminé
par la donnée de deux nombres,
sa longitude et sa latitude.
Puisqu'il faut deux nombres
pour décrire un lieu sur la Terre,
on dit que la sphère est de dimension deux
et les mathématiciens l'appellent souvent S2.
Enfin, si l'on autorise notre petit avion à quitter la Terre
et à s'envoler dans l'espace,
pour décrire sa position,
il faut maintenant trois nombres,
la longitude, la latitude et ...
l'altitude au dessus de la Terre.
Puisqu'il faut trois nombres
pour se repérer dans l'espace,
on dit que l'espace est de dimension 3.
Sur les portraits accrochés aux murs,
c'est Ptolémée que vous voyez, le père de la cartographie.
Comment dessiner la Terre ?
Une méthode est de la projeter sur un plan.
Choisissons une ville sur la Terre, par exemple Dakar.
On peut tracer la droite qui passe par le pôle nord et par cette ville.
Cette droite va couper le plan de la table en un autre point
qu'on appelle sa projection.
Ainsi chaque lieu sur la Terre peut être projeté sur le plan de la table.
Plus notre ville est proche du pôle nord,
plus elle se retrouve envoyée loin dans le plan.
Elle peut même sortir de la table !
C'est pour cela que l'on dit que le pôle nord n'a pas de projection
ou plutôt que sa projection est à l'infini.
Toute la Terre, à l'exception du pôle nord,
peut donc être représentée sur le plan de la table.
Cette carte du monde s'appelle la projection stéréographique.
Bien sûr... cette projection ne conserve pas les grandeurs.
L'Amérique du Sud par exemple paraît bien minuscule
par rapport à l'Amérique du Nord.
Pour bien comprendre la projection,
nous allons faire rouler la Terre comme une balle
et projeter toujours à partir du point le plus haut.
Dans la danse des continents,
chacun devient tour à tour grand puis petit.
Mais si l'on y regarde de plus près,
on voit que la forme est respectée,
même si les longueurs ne le sont pas.
On dit pour cela que la projection stéréographique est conforme.
Que deviennent les méridiens et les parallèles dans la projection ?
Quand on projette à partir du pôle nord,
les méridiens deviennent des rayons issus du pôle sud
et les parallèles deviennent des cercles concentriques.
Et si la Terre tourne, vous voyez que les méridiens comme les parallèles
se projettent encore sur des cercles ou des droites.
La projection stéréographique transforme
les cercles tracés sur la sphère en des cercles tracés sur le plan,
à l'exception bien sûr des cercles
qui passent par le pôle de projection,
qui eux sont projetés en des droites dans le plan.
Nous allons observer le même mouvement vu par en dessous.
On voit ainsi les méridiens et les parallèles
qui forment deux faisceaux de cercles.
Les points où convergent tous les méridiens
sont bien sûr le pôle nord et le pôle sud.
Vous l'avez reconnu ?
On voit ici le méridien de Greenwich
où s'achève la première étape de notre voyage vers la quatrième dimension.