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Bienvenue à notre présentation sur les dérivées
Je crois que vous allez trouver que c'est à partir de maintenant que les maths commenceront
à devenir beaucoup plus amusantes qu'elles l'étaient il y a quelques chapitres.
Eh bien, commençons avec nos dérivées
Je sais que ça a l'air très compliqué
Eh bien, en général, si j'ai une ligne droite -- voyons voir si je
peux dessiner une ligne droite -- si j'ai une ligne
droite -- voici mes axes de coordonnées, qui ne sont pas droits
ceci est une ligne droite.
Mais quand j'ai une ligne droite comme celle-ci et que je vous demande de
trouver la pente -- Je crois que vous savez déjà comment faire cela---
c'est seulement le changement en y divisé par le changement en x.
Si je voulais trouver la pente -- vraiment, je veux dire la pente est la
même parce qu'il s'agit d'une ligne droite, la pente est la même
à travers la ligne en entier, mais si je veux trouver la pente à n'importe
quel point sur la ligne, ce que je ferais, c'est que je prendrais un
point x -- disons que je choisirais ce point
Nous prendrions une couleur différente -- je prendrais ce point, je choisirais
ce point -- c'est assez arbitraire, je pourrais choisir n'importe quels deux
points, et je trouverais quel est le changement en y -- ceci
est le changement en y, delta y, c'est seullement une autre façon de
dire changement en y -- et ceci est le changement en x.
delta x.
Et nous trouvons que la pente est definie comme étant
le changement en y divisé par le changement en x.
Une autre façon de dire cela est delta -- le triangle---
delta y divisé par delta x.
C'est très simple.
Maintenant, que se passerait-il, cependant, si nous n'avions pas affaire
à une ligne droite?
Voyons voir si j'ai assez d'espace pour dessiner cela,
Un autre axe de coordonnées.
Encore assez malpropre, mais je crois que vous comprenez.
Maintenant, disons que, plutôt qu'avoir une simple ligne comme celle-là, celle-ci
suit la règle y est égal à mx plus b
Disons seulement que j'avais un courbe y est égal à x au carré.
Laissez moi la dessiner avec une couleur différente.
Alors y est égal à x au carré ressemble à quelque chose comme ceci.
C'est une courbe, que vous connaissez probablement bien maintenant.
Et ce que je vais vous demander c'est, quel est la pente
de cette courbe?
Et pensez-y.
Qu'est-ce que prendre la pente d'une courbe veut dire maintenant?
Eh bien, sur cette ligne, la pente était la même sur
toute la ligne.
Mais si nous regardons cette courbe, la pente ne change-t-elle
pas, n'est-ce pas?
Ici, la courbe est presque plate, et ici, elle est de plus en plus à pic
jusqu'à tant qu'elle devienne assez à pic.
Et si nous allons très très loin, elle devient extrêmement à pic.
Alors vous vous disez probablement, eh bien, comment trouve-t-on
la pente de la courbe si la pente change constamment?
Eh bien, il n'y a pas de pente pour la courbe en entier.
Pour une ligne, il y a une pente pour la ligne en entier parce que
la pente ne change jamais.
Mais ce que nous pourrions essayer de faire, c'est de trouver quel est
la pente à un certain point.
Et la pente à un certain point serait la même que
la pente de la ligne tangente.
Par exemple -- laissez-moi prendre un vert --- la pente à ce point
ici serait la même que la pente de cette ligne.
N'est-ce pas?
Parce que cette ligne est tangente à la courbe
Alors si elle ne touche que la courbe, et à ce point exact, elles
auraient -- cette courbe bleue, y est égal à x au carré aurait
la même pente que cette ligne verte.
Mais si nous allons vers un point là-bas, même s'il s'agit d'un graphique
très mal dessiné, la pente serait
quelque chose comme ceci.
La pente de la tangente.
La pente serait une pente négative, and ici, il s'agit d'une pente positive,
mais si nous prenons un point ici, la pente serait
encore plus positive
Alors, comment allons-nous trouver cela?
Comment allons nous trouver ce qu'est la pente à n'importe quel point
sur cette courbe y est égal à x au carré?
C'est à ce moment que la dérivée devient d'usage et maintenant
pour la première fois que vous allez voir pourquoi la limite est
un concept utile.
Alors laissez moi redessiner la courbe.
OK, je vais dessiner mes axes, voici l'axe des y -- je vais juste
le dessiner pour le premier quadrant --- et ceci-- I dois vraiment trouver un
meilleur outil pour faire mes -- ceci est l'axe des x, et ensuite
laissez-moi dessiner ma courbe en jaune.
Alors y égal x au carré ressemble à quelque chose comme ceci.
Je suis vraiment en train de me concentrer pour dessiner ça
au moins décemment.
OK.
Alors disons que nous voulons trouver la pente à ce point.
Appelons ce point a.
Et ce point, x égal a.
And bien sûr, ceci est f de a.
Alors ce que nous pourrions essayer de faire, c'est d'essayer de trouver
la pente de la ligne sécante.
Une ligne entre -- nous prenons un autre point, disons,
assez proche, à ce point sur le graphique, disons juste ici, et si
nous pourrions trouver la pente de cette ligne, ce serait
un peu comme une approximation de la pente de la courbe
exactement à ce point.
Alors laissez-moi tracer une ligne sécante.
Quelque chose comme ça.
Une ligne sécante ressemble à quelque chose comme ça.
And disons qu'à ce point juste ici, il y a un plus h, ou
la distance est seuelement h, ceci est un plus h, nous allons seulement aller
h loin de a and ensuite, à ce point juste ici
est f d'un plus h.
Mon stylo fonctionne mal.
Alors ceci serait une approximation de ce qu'est la
pente à ce point.
Et plus h se rapproche, le plus près ce point se
rapproche de ce point. Notre approximation deviendra meilleure et meilleure
jusqu'à temps que nous pourrons avoir
la pente ou h est égal à 0, ce qui serait la pente
instantannée, à ce point sur la courbe.
Mais comment trouve-t-on la pente quand h est égal à 0?
Alors, en ce moment, nous disons que la pente entre ces deux
points, ce serait le changement en y, alors
quel est le changement en y?
C'est ceci, pour que ce point ici -- la coordonnée en
x est -- mon truc n'arrête pas de gâcher -- la coordonnée x
est a plus h et la coordonnée en y est f(a) plus h.
Et à ce point-ci, la coordonnée est a et f(a).
Alors, si nous utilisons seulement la formule, comme auparavant, nous
dirions changement en x sur changement en x.
Eh bien, quel est le changement en y?
C'est f(a+h) -- cette coordonnée en y moins cette coordonnée en y
--- moins f(a) sur le changement en x.
Eh bien le changement en x est cette coordonnée en x, a plus h, moins
cette coordonnée en x, moins a.
Et bien sûr, ce a et ce a s'annulent.
Alors c'est f(a) plus h, moins f(a), tout cela divisisé par h.
ceci est seulement la pente de la ligne sécante.
Et si nous voulons trouver la pente de la ligne tangente, nous
n'aurions qu'à trouver ce qui se passe si h devient plus petit et
petit et petit.
Et je crois que vous savez vers quoi je me dirige.
Vraiment, ce que nous voulons, si nous volons trouver la pente de cette
ligne tangente, nous n'avons qu'à trouver la limite
de cette valeur quand h tend vers 0.
Et ensuite, quand h tend vers 0, cette ligne sécante va
se rapprocher de la pente de la ligne tangente.
And puis nous allons savoir la pente exacte à
ce point instantanné sur cette courbe.
Et en fait, il s'avère que ceci est la définition
de la dérivée.
Et la dérivée n'est rien de plus que la pente de la
courbe à un point précis.
Et ceci est très utile parce que pour la première fois,
tout ce dont nous avons parlé jusqu'à maintenant est
la pente d'une ligne.
Mais maintenant, nous pouvons prendre n'importe quelle courbe continue ou la plupart
des courbes continues,et trouver la pente de la courbe
à un point précis.
Alors maintenant que je vous ai donné la définition de ce qu'est une dérivée
et probablement, espérons peut-être un peu plus d'intuition, dans
la prochaine présentation je vais utiliser cette définition pour
l'appliquer à certaine fonctions, comme x au carré et d'autres, et
vous donner quelques problèmes de plus.
Je vais vous voir dans la prochaine présentation