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Comme n'importe quel élève qui étudie ou a étudié la géométrie le sait,
le père de la géométrie est Euclide,
un mathématicien Grec qui vivait à Alexandrie, en Égypte
vers 300 avant J.C.
Euclide est connu comme l'auteur
d'un travail particulièrement important connu sous le titre d' Éléments
Vous pensez que votre manuel de math est long ?
Éléments d'Euclide comporte 13 volumes remplis uniquement de géométrie.
Dans Éléments, Euclide a structuré et complété
le travail d'un grand nombre de mathématiciens qui l'avaient précédé,
tels que Pythagore,
Eudoxe,
Hippocrate,
et d'autres.
Euclide a tout décrit comme un système logique de preuves
construit à partir d'un ensemble de définitions,
de notions générales,
et ses cinq fameux axiomes.
Quatre de ces axiomes sont très simples et clairs,
par exemple, deux points déterminent une droite.
Le cinquième, cependant, est la source de notre histoire.
Ce cinquième et mysterieux axiome est connu
sous le nom de "l'Axiome des Parallèles"
Contrairement aux quatre premiers,
le cinquième axiome est rédigé d'une manière alambiquée.
La version d'Euclide énonce que,
« Si une droite tombant sur deux droites
fait que la somme des deux angles intérieurs
du même côté de la transversale
est inférieure à deux angles droits
se rencontreront de ce côté
et ne sont donc pas parallèles."
Ça c'est de la diction !
En voilà une version plus simple et plus familière :
« Dans un plan, à travers tout point n'étant pas sur une droite,
une et une seule droite peut être tracée
qui est parallèle à la première. »
De nombreux mathématiciens à travers les siècles
ont essayé de prouver l'axiome des parallèles à partir des quatre autres,
mais en ont été incapables.
Ce faisant, ils ont commencé à regarder
ce qui arriverait logiquement
si le cinquième axiome était faux.
Les plus grands esprits
dans l'histoire des mathématiques ont posé cette question,
des personnes telles que Ibn al-Haytham,
Omar Khayyam,
Nasir al-Din al-Tusi,
Giovanni Saccheri,
Janos Bolyai,
Carl Gauss,
et Nikolai Lobachevsky.
Ils ont tous expérimenté l a négation de l'axiome des parallèles,
pour découvrir que cela donnait naissance
à des géométries entières alternatives.
On connait l’ensemble de ces géométries
sous le nom de Géométries non-euclidiennes.
On laissera les détails
de ces différentes géométries pour une autre leçon,
la principale différence dépend de la courbure
de la surface sur laquelle les droites sont crées.
Il s'avère qu'Euclide ne nous a pas raconté
toute l'histoire dans Éléments
il a simplement décrit une façon possible
de regarder l'univers.
Tout dépend du contexte de ce que l'on regarde.
Des surfaces plates agissent d'une certaine manière,
tandis que les surfaces courbées positivement et négativement
font preuve de caractéristiques très différentes.
Au début, ces géométries alternatives paraissaient un peu étranges
mais on les a rapidement trouvées tout aussi parfaites
pour décrire le monde qui nous entoure.
Naviguer sur notre planète requiert une géométrie elliptique
tandis que l'essentiel de l'art de M.C. Escher
affiche une géométrie hyperbolique.
Albert Einstein a lui aussi utilisé une géométrie non-euclidienne
pour décrire la manière dont l'espace-temps,
devient énergie en présence de matière
dans sa Théorie Générale de la Relativité.
Le grand mystère ici est si oui ou non Euclide
avait le moindre soupçon de l’existence de ces autres géométries
quand il a écrit son mystèrieux axiome.
Nous ne connaitrons probablement jamais la réponse à cette question
mais il semble difficile de croire
qu'il n'avait pas la moindre idée de leur nature,
étant le génie qu'il était
et comprenant le domaine aussi parfaitement.
Peut être le savait-il
et a écrit l'axiome de telle manière
que des esprits curieux après lui
viendraient débusquer les détails.
Si c'est le cas, il doit être heureux.
Ces découvertes n'auraient jamais été faites
sans des penseurs talentueux et progressistes
qui sont capables de suspendre leurs notions préconçues
et de réfléchir en dehors de ce qu'il ont appris.
Nous aussi devons être prêt parfois
à mettre de côté nos notions préconçues et expériences physiques
et regarder l'ensemble,
ou nous risquons de ne pas voir le reste de l'histoire.