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Disons que vous vous promenez tranquillement et que quelqu'un vous demande :
"Vite, est-ce que 4 792 est divisible par 3 ?
Il me faut cette réponse de toute urgence !"
Heureusement, vous connaissez une astuce
pour savoir rapidement si un nombre est divisible par 3 :
il suffit d'additionner les chiffres qui le composent ; si la somme est un multiple de 3,
le nombre entier l'est aussi.
Donc, on additionne : 4 + 7 + 9 + 2. 4 + 7 = 11. 11 + 9 = 20. 20 + 2 = 22.
22 n'est pas divisible par 3.
Pour confirmer, vous pouvez additionner les chiffres de 22 :
2 + 2 = 4 et 4 n'est absolument pas divisible par 3.
Donc, ce nombre n'est pas divisible par 3.
Voilà, nous avons pu aider notre inconnu.
Vous continuez votre promenade et quelqu'un vous demande :
"Vite, est-ce que 386 802 est divisible par 3 ?"
On utilise la même astuce : est-ce que la somme de 3 + 8 + 6 + 8 + 0 + 2 est divisible par 3 ?
3 + 8 = 11. 11 + 6 = 17. 17 + 8 = 25. 25 + 2 = 27.
27 est divisible par 3. Vous pouvez additionner les chiffres qui composent 27 :
2 + 7 = 9. 9 est tout à fait divisible par 3.
Donc, 386 802 est divisible par 3.
Vous avez réussi à aider ces deux inconnus
en un temps record !
Mais vous êtes embêtés parce que vous ne savez pas vraiment comment fonctionne l'astuce.
Vous l'avez simplement apprise.
Réfléchissons-y.
Pour cela, choisissons un nombre au hasard,
mais cela fonctionne avec n'importe quel nombre.
Nous allons voir, pas à pas, le raisonnement logique derrière cette astuce.
Nous allons utiliser 498 mais, encore une fois, cela fonctionne avec n'importe quel nombre.
Pour comprendre comment fonctionne cette astuce, réécrivons 498 sous une autre forme.
4 est le chiffre des centaines, soit 4 x 100, qu'on peut aussi écrire 4 x (1 + 99).
Ce 4 représente 400, soit 4 x 100, ce qui équivaut à 4 x (1 +99).
Le truc, c'est décrire 100 sous la forme 1 + un multiple de 3.
99 est divisible par 3. S'il y avait d'autres chiffres avant le 4, j'utiliserais 999 ou 9 999 etc. tous multiples de 3.
D'ailleurs, ce raisonnement fonctionne aussi pour la divisibilité par 9, ce sont tous des multiples de 9.
Voilà pour le 4 qui est le chiffre des centaine.
Le 9, chiffre des dizaines vaut 90, soit 9 x 10, c'est-à-dire 9 x ( 1 + 9).
Et enfin le 8, chiffre des unités, vaut 8 x 1, soit 8.
On développe cette multiplication : (4 x 1) + (4 x 99),
soit 4 + (4 x 99). Non, je vais l'écrire autrement. Ou plutôt non.
4 + (4 x 99). La même chose avec les dizaines.
On ajoute 9... Je vais utiliser du magenta.
On ajoute 9 + (9 x 9). Et enfin, on ajoute le 8.
Je peux changer l'ordre des termes : je prends le 4(99) et le 9(9) et je les récris ici.
4(99), j'utilise une écriture un peu différente. On ajoute 9 (9).
J'ai repris ces deux termes. Ensuite on ajoute 4 + 9 + 8.
Peut-on déterminer si les deux premiers termes sont divisibles par 3 ?
Il le sont certainement.
Ce premier terme est divisible par 3 car 99 est un multiple de 3. Le 4 n'intervient pas.
99 est divisible par 3 et le restera, même si on le multiplie.
Pareil ici : 9 est divisible par 3 donc le produit l'est aussi.
Si on additionne deux multiples de 3, la somme sera un multiple de 3.
Toute cette partie est donc divisible par 3.
On ferait la même chose si le nombre était plus grand :
1 + 99 ; 1 + 999 ; 1+ 9 999 etc.
Il faut donc se concentrer sur ces chiffres-là.
Pour que l'ensemble soit divisible par 3, sachant que cette première partie l'est,
il faut que cette seconde partie le soit aussi. Cette somme doit être divisible par 3.
Quels sont ces chiffres ? Ceux qui composent le nombre initial : 498.
Il faut que la somme de ces chiffres soit divisible par 3.