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X
On se donne ici la fonction f définie par f(x)= x^2.sin(1/x)
si x appartient à R donc x est un réel non nul.
On veut prolonger f en une fonction continue sur R.
On sait par les règles usuelles d'opération sur les fonctions continues
que la fonction f est continue sur R.
Mais on cherche en fait à savoir si elle est prolongeable par continuité en 0.
Cela revient a étudier si f a une limite finie en 0.
Pour cela on utilise l'expression de f(x),
même valeur absolue de f(x) ;
puisque c'est une valeur absolue, c'est positif ou nul.
Par définition de f, cela vaut valeur absolue de sin x^2.sin(1/x).
x^2 est positif et la valeur absolue de sin (1/x) c'est donc le sinus d'un nombre réel,
on sait que la valeur absolue est inférieure ou égale à 1.
Donc cette quantité là est inférieure ou égale à x^2.
Lorsque x tend vers 0, x^2 tend vers 0.
Donc d'après le lemme des gendarmes,
f(x) qui est comprise entre 0 et une quantité qui tend vers 0
tend aussi vers 0 (quand x tend vers 0).
On peut donc prolonger la fonction f par continuité en posant f(0)=0
et on obtient une fonction qui est continue sur R tout entier.
On demande ensuite d'étudier la dérivabilité de la fonction f.
Donc f est définie par f(x)= x^2.sin(1/x) si x n'est pas nul
et par 0 si x=0 d'après la question précédente.
Pour étudier la dérivabilité, on commence par étudier la dérivabilité sur R
donc là on a un produit et une composée de fonction qui sont dérivables sur R.
L'expression x^2 sin(1/x) est donc dérivable sur R
et on trouve même l'expression explicite de f'(x).
Donc f'(x) c'est la dérivée d'un produit,
ce qui donne donc 2x.sin (1/x) + x^2 fois la dérivée de sin (1/x).
Je rappelle la formule de la dérivée de sin U : (sin u)'=u' cos u ;
ici le u=(1/x) donc la dérivée de sin (1/x)=(-1/x^2cos(1/x)).
L'expression se simplifie un petit peu et on obtient pour f'(x)=2x sin(1/x) – cos(1/x).
Il reste à étudier le cas x=0.
Dans ce cas là on ne peut pas appliquer la même règle
puisque f(0) n'est pas définie par la formule x^2.sin(1/x) mais par f(0)=0.
On revient donc à la définition de la dérivabilité en regardant le taux d'accroissement,
c'est-à-dire f(x)-f(0)/x-0.
Ici si on s'intéresse aux x qui sont non nuls,
l'expression de f(x) c'est x^2 sin(1/x) ;
f(0) par définition de f, vaut 0.
Le taux d'accroissement de f en 0 vaut donc x sin(1/x).
Et le même raisonnement que dans la question 1
montre que cette quantité tend vers 0 quand x tend vers 0.
Cela montre que la fonction f est dérivable en 0 et que f'(0)=0.
Maintenant, on nous demande d'étudier si la dérivée f' est continue sur R.
Donc f', ce que l'on vient de trouver, c'est que f'(x) est bien définie et est égale à 2x sin(1/x) – cos(1/x)
si x est non nul donc si x appartient à R et f'(0)=0.
Il s'agit d'étudier si cette fonction là est continue sur R.
Alors elle est continue sur R,
toujours d'après les règles usuelles de produits et de composés de fonction continue.
Le problème est de savoir si elle est continue en 0.
Donc f' est continue est 0, cela équivaut à dire que f'(x) tend vers f'(0)
quand x tend vers 0 par valeur non nulle.
Donc on regarde f'(x) si x est non nul,
c'est donné par cette expression là,
il s'agit donc de regarder si cette quantité là tend vers 0 quand x tend vers 0.
Alors pour le premier terme c'est bon, toujours par le même argument,
on a x.1sin, c'est-à-dire quelque chose qui reste compris entre -1 et 1
donc cette quantité là tend bien vers 0 quand x tend vers 0.
Par contre, le cos(1/x) n'a pas de limites quand x tend vers 0 puisque si x tend vers 0,
x tend vers l'infini et le cosinus n'a pas de limites dans l'infini.
Donc quelque chose qui tend vers 0 moins quelque chose qui n'a pas de limite
donne quelque chose qui n'a pas de limite.
Donc cette affirmation là était fausse ;
autrement dit, f' n'est pas continue en 0.
Ici on a tracé le graphe de la fonction f définie par f(x)=x^2 sin(1 /x).
Donc on constate que c'est une fonction qui oscille comme le sinus,
mais puisque le sinus est compris entre -1 et 1,
la fonction f(x) sera comprise entre -x^2 et +x^2.
On voit bien sur le dessin que f(x) tend vers 0 quand x tend vers 0.
Par contre, la dérivée de la fonction f ne sera pas continue en 0.
Cela est dû au fait que la fonction oscille et lorsque x tend vers 0, (1/x) tend vers l'infini,
donc les oscillations qui sont celles du sinus se font de plus en plus rapide
et la pente de fonction va passer indéfiniment des valeurs positives à des valeurs négatives,
et cela de plus en plus rapidement lorsque x tend vers 0.