Zero Factorial - Numberphile

JAMES GRIME: Aujourd'hui, nous allons parler d'une des questions que nous avons souvent reçu, et cette question est-- hum, Brady, quelle est la question ? BRADY HARAN: La question est : Pourquoi 0 factoriel est égal à 1 ? Juste. Pourquoi 0 factoriel est égal à 1 ? Commençons par un petit rappel de ce qu'est une factorielle. Prenons un nombre entier n. n factoriel, qui s'écrit comme ça : n avec un point d'exclamation. Ceci est égal à : Vous multipliez tous les nombres entiers inférieurs ou égaux à n. Ce qui fait n multiplié par n moins 1, multiplié par n moins 2, multiplié par-- et vous continuez ainsi de suite, et vous arriverez à 3, fois 2, fois 1. Un petit exemple. Faisons 5 factoriel. 5 fois, 4 fois 3, fois 2, fois 1. Et vous faites ça, ça fait 120. OK. La question qu'on nous a posé est : que donne 0 factoriel. La manière-- une des manières de répondre à cela est de compléter une sorte de "modèle". Complétons le "modèle". ce "modèle" en particulier, 4 factoriel, est égal à 5 factoriel divisé par 5. Vous voyez, si je prends 5 factoriel ici et je le divise par 5, je peux "enlever" ce 5, et on se retrouve avec 4 factoriel. Donc 5 factorial divisé par 5, ou 120 divisé par 5, égal 24. C'est aussi 4 factoriel. 3 factoriel sera 4 factoriel divisé par 4. C'est 24 divisé par 4. Égal 6. C'est la réponse à 3 factoriel. 2 factoriel : 3 factoriel divisé par 3, 6, que nous venons de voir, divisé par 3, est égal à 2. 1 factoriel. Même chose. C'est 2 factoriel divisé par 2. 2 factoriel égal 2, divisé par 2. On a 2 divisé par 2. C'est égal à 1. C'est maintenant que ça devient excitant. Vous voyez où je veux en venir ? Donc 0 factoriel. On va suivre le "modèle". 0 factoriel, c'est 1 factoriel, divisé par 1. 1 factoriel égal 1. On a 1 divisé par 1, et Ceci est égal à 1. Donc 0 factoriel est égal à 1. On complète le "modèle". BRADY HARAN: Qui a dit que le "modèle" devait être complété ? D'où vient cette règle ? JAMES GRIME: Je suppose que ce c'est pas nécessaire qu'il soit complété. Cependant, il se complète. Je vais essayer de l'expliquer d'une autre façon. BRADY HARAN: Laissez-moi d'abord suivre le "modèle". Cela voudrait dire que -1 serait le prochain nombre de la suite ? JAMES GRIME: Voyons ce qu'il se passe. Je ne suis pas sûr de ce qu'il va se passer. Essayons. -1 factoriel. Que devrais-je avoir ? 0 factoriel divisé par 0 ? 1 divisé par 0. BRADY HARAN: Oh, divisé par 0. JAMES GRIME: Vous avez brisé les maths, Brady. Arrêtez. Une autre manière d'expliquer ce que 0 factoriel peut être. n factoriel est le nombre de façon que l'on peut arranger n objets. Laissez-moi vous montrer ce que je veux dire. Prenons des objets. Je sors le porte-feuille. Je prends quelques pièces. Vous voyez ? Qui a dit que les mathématiciens ne gagnaient pas beaucoup d'argent ? Il y a 50p ici (~0.60€). Prenons celle qui est argentée et une de 5p (~0.06€). Trois objets ici, et combien y a-t-il de façon d'arranger trois objets ? Il y a six manières. C'est 3 factoriel. Vérifions. Première, deuxième, ou il y a aussi celle-ci-- ça fait 3, la quatrième. On a aussi-- Je crois que c'est celle-là que l'on n'avait pas au début. Donc ça fait 5, et 6. Si on en enlève une, nous avons maintenant deux objets. Combien y a-t-il de manières d'arranger deux objets ? 1, 2. J'en enlève une. Combien y a-t-il de manières d'arranger un objet ? C'est celle-là, il n'y en a qu'une. Une façon d'arranger un objet. Maintenant on va enlever la dernière pièce. C'est là que ça devient un peu philosophique. On a zéro objet. Combien y a-t-il de manières d'arranger zéro objet ? Une seule. C'est celle-ci. Vous voulez que je le refasse ? C'est celle-ci. Légèrement philosophique, mais on dit qu'il n'y a qu'une seule façon d'arranger zéro objet. Donc le modèle tient la route. 0 factoriel est égal à 1. Juste pour allez un petit peu plus loin, puisqu'on parle de factorielles, essayons de les dessiner. Disons que l'on a : 1, 2, 3, 4, 5. 1 factoriel, c'est 1, donc on appelle ça 1. 2 factoriel, c'est 2, donc quelque part par ici. 3 factoriel, c'est 6. Je ne sais pas. À peu près ici. 4 factoriel, c'est 24, donc ce sera plus haut, ici. Et enfin 5 factoriel va monter très haut. Si on les relie-- On a dit que 0 factoriel égal 1, donc je le relie aussi. En théorie, on peut déterminer les valeurs entre 1 et 2, environ 1/2. 1,5 factoriel. Que donne 1,5 factoriel ? Les mathématiciens ont fait ça. Ils ont généralisé l'idée. Et voici l'idée de 1.5 factoriel. On l'appelle gamma. C'est la lettre grecque gamma. On dit "gamma de..." Et la façon dont on l'écrit-- en fait, c'est un peu plus compliqué. On dit gamma de n est égal à l'intégrale entre 0 et l'infini, de-- --quelque chose comme-- t à la puissance n-1, multiplié par e à la puissance -n dn. Certaines personnes ne connaissant pas tout cela. Certains d'entre vous connaissent peut-être, mais d'autres non. C'est une idée mathématique beaucoup plus compliquée, mais c'est en accord avec les factorielles. Cela donnera des valeurs non-entières. Cela entrecoupe la courbe. Il y a autre chose que je voulais dire. C'est un peu inattendu, mais si on prends un nombre, pour tout entier, gamma de n, n est entier, cela va donner n-1 factoriel, donc faites attention à ça. Vous pourriez vous faire avoir. Voilà. Quel est l'inérêt d'avoir une fonction qui vous donne des factorielles non-entières, puisqu'on ne peut pas arranger un objet et demi ? C'est une généralisation, et cela peut être utile pour beaucoup de choses. En particulier, les probabilités. On peut les utiliser dans des formules de probabilité. Dans ce cas, on pense plus à un arrangement de temps continu plutôt qu'à arranger des objets. Quelque chose comme les événements continus. Le temps est le meilleur exemple. Puis, pour généraliser l'idée, on va avoir besoin de factorielles généralisées. BRADY HARAN: 9, 6, et 3. 20. 44.