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X
Faisons des exemples de limites.
Voici un autre exercice.
Voici un autre exercice.
Limite quand x tend vers 3 de x au carré - 6x + 9 / x au carré - 9
La première chose à faire est de mettre le chiffre à la place de x
La première chose à faire est de mettre le chiffre à la place de x
et si on obtient quelque chose, on a fini.
et si on obtient quelque chose, on a fini.
et si on obtient quelque chose, on a fini.
Enfin, si la fonction est continue, on a fini.
Enfin, si la fonction est continue, on a fini.
Ici si on met 3 au carré ça fait 9 - 18 + 9, soit zéro.
Ici si on met 3 au carré ça fait 9 - 18 + 9, soit zéro.
Ici si on met 3 au carré ça fait 9 - 18 + 9, soit zéro.
Et au dénominateur, 3 au carré ça fait 9 - 9, soit zéro aussi.
Et au dénominateur, 3 au carré ça fait 9 - 9, soit zéro aussi.
zéro sur zéro, ça ne mène à rien.
zéro sur zéro, ça ne mène à rien.
Alors, on regarde si on peut simplifier cette expression
Alors, on regarde si on peut simplifier cette expression
pour que, quand on remplace x par 3, ça donne quelque chose de sensé
pour que, quand on remplace x par 3, ça donne quelque chose de sensé
Quand je regarde ces deux polynômes, ils ont l'air assez faciles à factoriser
Quand je regarde ces deux polynômes, ils ont l'air assez faciles à factoriser
et il possible qu'on arrive à avoir le même facteur au numérateur et au dénominateur
et il possible qu'on arrive à avoir le même facteur au numérateur et au dénominateur
et qu'on puisse les simplifier.
Ici, on reconnait x + 3,
Ici, on reconnait x + 3,
pardon x - 3
x - 3 au carré
on va écrire (x - 3)(x - 3), ce qui revient au même
on va écrire (x - 3)(x - 3), ce qui revient au même
et au dénominateur, vous reconnaissez (x + 3)(x - 3)
et au dénominateur, vous reconnaissez (x + 3)(x - 3)
Donc la limite quand x tend vers 3 de cette expression
est la même chose que la limite quand x tend vers 3 de cette expression.
est la même chose que la limite quand x tend vers 3 de cette expression.
Bien sûr, cette expression est toujours indéfinie
Bien sûr, cette expression est toujours indéfinie à x = 3.
Bien sûr, cette expression est toujours indéfinie à x = 3.
Mais en la simplifiant, on peut voir de quoi on s'approche.
Mais en la simplifiant, on peut voir de quoi on s'approche.
Si on suppose que x est n'importe quoi sauf 3,
on peut supprimer ces deux termes, puisqu'ils ne sont pas égaux à zéro.
Ils sont seulement égaux à zéro quand x est égal à 3.
Donc on peut les barrer.
Et on peut dire (je ne suis pas très rigoureux, mais c'est comme ça qu'on apprend)
Et on peut dire (je ne suis pas très rigoureux, mais c'est comme ça qu'on apprend)
On peut dire que c'est la même chose que la limite quand x tend vers 3 de (x - 3) / (x + 3).
On peut dire que c'est la même chose que la limite quand x tend vers 3 de (x - 3) / (x + 3).
Maintenant, si on met 3 à la place de x, qu'est-ce que ça donne?
Au numérateur, on a 3 - 3, donc toujours zéro.
Au numérateur, on a 3 - 3, donc toujours zéro.
Mais au dénominateur, on obtient maintenant 3 + 3 = 6
Mais au dénominateur, on obtient maintenant 3 + 3 = 6
Voici un vrai nombre.
0 / 6, ça fait zéro.
0 / 6, ça fait zéro.
Intéressant : la première fois, on a obtenu 0 / 0.
Intéressant : la première fois, on a obtenu 0 / 0.
Et maintenant, on obtient la réponse zéro en simplifiant.
Il faut bien sûr ne pas oublier que cette expression n'est pas définie à x = 3.
Il faut bien sûr ne pas oublier que cette expression n'est pas définie à x = 3.
Elle est définie partout ailleurs, mais si on la dessinait, et je vous encourage à le faire,
vous verriez qu'en approchant de x = 3, la valeur de cette expression approcherait de zéro.
vous verriez qu'en approchant de x = 3, la valeur de cette expression approcherait de zéro.
vous verriez qu'en approchant de x = 3, la valeur de cette expression approcherait de zéro.
Ah, je sais ce que vous pensez.
On avait 0 / 0, est-ce qu'à chaque fois que j'ai 0 / 0 ça va me donner 0 quand je simplifie l'expression?
On avait 0 / 0, est-ce qu'à chaque fois que j'ai 0 / 0 ça va me donner 0 quand je simplifie l'expression?
On avait 0 / 0, est-ce qu'à chaque fois que j'ai 0 / 0 ça va me donner 0 quand je simplifie l'expression?
Regardons ça.
Regardons ça.
Quelle est la limite, quand x tend vers 1, de x au carré - x - 2.
Quelle est la limite, quand x tend vers 1, de x au carré - x - 2.
Quelle est la limite, quand x tend vers 1, de x au carré - x - 2.
Ou plutôt, de x au carré + x - 2
Ou plutôt, de x au carré + x - 2
Ou plutôt, de x au carré + x - 2
sur x - 1.
Si on regarde ce qui se passe quand x = 1
Si on regarde ce qui se passe quand x = 1
On obtient 0 / 0
On obtient 0 / 0
Alors cherchons à simplifier
Alors cherchons à simplifier
Alors cherchons à simplifier
x au carré + x - 2, on reconnait (x - 1)(x +2)
Voici donc la limite, quand x tend vers 1,
de (x - 1)(x +2) / x - 1
Vous verrez, souvent dans les problèmes sur les limites,
même si l'expression au numérateur est difficile à factoriser,
il y a des chances que l'une des raisons qui rendent le dénominateur indéfini
il y a des chances que l'une des raisons qui rendent le dénominateur indéfini
soit un facteur au numérateur.
Il arrive que ça soit difficile à factoriser,
mais il faut chercher un facteur qui est en bas
mais il faut chercher un facteur qui est en bas
car souvent c'est ce qui permet de simplifier l'expression.
car souvent c'est ce qui permet de simplifier l'expression.
Donc, si on suppose que x n'est pas égal à 1,
x - 1 ne serait pas égal à zéro
et on pourrait donc simplifier par x - 1.
On obtient donc la limite, quand x tend vers 1, de x + 2, soit 3.
On obtient donc la limite, quand x tend vers 1, de x + 2, soit 3.
On obtient donc la limite, quand x tend vers 1, de x + 2, soit 3.
On obtient donc la limite, quand x tend vers 1, de x + 2, soit 3.
On obtient donc la limite, quand x tend vers 1, de x + 2, soit 3.
Intéressant : quand on a essayé d'évaluer l'expression avec x = 1, on a obtenu 0 / 0
Intéressant : quand on a essayé d'évaluer l'expression avec x = 1, on a obtenu 0 / 0
Intéressant : quand on a essayé d'évaluer l'expression avec x = 1, on a obtenu 0 / 0
et dans l'exemple précédent, on a vu qu'en simplifiant, on obtenait 0
et ici, on obtient 3.
Et si vous avez une calculette graphique, dessinez ces fonctions
Et si vous avez une calculette graphique, dessinez ces fonctions
vous verrez que la courbe approche vraiment de la limite qu'on a trouvée.
vous verrez que la courbe approche vraiment de la limite qu'on a trouvée.
vous verrez que la courbe approche vraiment de la limite qu'on a trouvée.
Vous pouvez aussi faire vos propres problèmes.
C'est exactement ce que je fais
donc vous pouvez le faire aussi.
Faisons-en un autre.
Faisons-en un autre.
Celui-ci est intéressant.
Quelle est la limite, quand x tend vers l'infini,
Quelle est la limite, quand x tend vers l'infini,
de x au carré + 3 / x au cube
On peut imaginer ce qui arrive quand x est très très grand.
On peut imaginer ce qui arrive quand x est très très grand.
On peut imaginer ce qui arrive quand x est très très grand.
Vous pouvez calculer cette expression avec de très grands nombres.
Vous pouvez calculer cette expression avec de très grands nombres.
Vous pouvez calculer cette expression avec de très grands nombres.
Par exemple, avec x = un million, ou x = un milliard
Par exemple, avec x = un million, ou x = un milliard
Par exemple, avec x = un million, ou x = un milliard
Vous verrez vers quoi on tend.
Vous verrez vers quoi on tend.
Ce qu'on peut aussi remarquer, c'est qu'au dénominateur, le terme qui croît le plus vite, c'est x au carré
Ce qu'on peut aussi remarquer, c'est qu'au numérateur, le terme qui croît le plus vite, c'est x au carré
Ce qu'on peut aussi remarquer, c'est qu'au numérateur, le terme qui croît le plus vite, c'est x au carré
Et au dénominateur, quel est le terme qui croît le plus vite?
Et au dénominateur, quel est le terme qui croît le plus vite?
C'est x au cube.
Et qu'est-ce qui va croître le plus vite, x au carré ou x au cube?
Et qu'est-ce qui va croître le plus vite, x au carré ou x au cube?
Et oui, x au cube va croître beaucoup plus vite que x au carré.
Et oui, x au cube va croître beaucoup plus vite que x au carré.
Donc, au fur et à mesure que le dénominateur croît,
il va croître plus vite que le numérateur.
Donc vous imaginez que si le dénominateur croît beaucoup et plus vite que le numérateur,
Donc vous imaginez que si le dénominateur croît beaucoup et plus vite que le numérateur,
on va obtenir une fraction de plus en plus petite, n'est-ce-pas?
on va obtenir une fraction de plus en plus petite, n'est-ce-pas?
C'est-à-dire qu'on va approcher de zéro.
donc, lorsque x tend vers l'infini, on tend vers zéro.
C'est une approche intuitive de la résolution de ce problème.
C'est une approche intuitive de la résolution de ce problème.
On peut aussi simplifier cette fraction,
On peut aussi simplifier cette fraction,
On peut aussi simplifier cette fraction,
et obtenir 1/x plus quelque chose, plus quelque chose, plus quelque chose,
et vous voyez qu'on obtient aussi, lorsque x tend vers l'infini,
on tend vers zéro.
Allez, un dernier.
Je vais aller vite pour vous embrouiller.
La limite, quand x tend vers l'infini, de 3x au carré + x / 4x au carré - 5
La limite, quand x tend vers l'infini, de 3x au carré + x / 4x au carré - 5
La limite, quand x tend vers l'infini, de 3x au carré + x / 4x au carré - 5
Ca paraît compliqué, mais c'est simple.
Ca paraît compliqué, mais c'est simple.
Il faut penser à ce qui se passe quand x est de plus en plus grand.
Il faut penser à ce qui se passe quand x est de plus en plus grand.
Quand x sera de plus en plus grand, ces petits termes croîtront moins vite que ces gros termes
Quand x sera de plus en plus grand, ces petits termes croîtront moins vite que ces gros termes
et ils deviendront négligeables
et ils deviendront négligeables
et ils deviendront négligeables
et ces deux termes croîtront à la même vitesse, n'est-ce-pas?
Donc on a tendre vers une fraction de 3 / 4
Donc on a tendre vers une fraction de 3 / 4
Et voilà la limite, c'est facile.
C'est 3/4.
Donc il faut juste regarder ce qui croît le plus vite en haut,
ce qui croît le plus vite en bas,
et voir vers quoi on tend.
Si ils sont pareils, ils s'équilibrent, et il reste 3/4.
Si ils sont pareils, ils s'équilibrent, et il reste 3/4.
C'est intuitif, peu rigoureux, mais ça vous mène au résultat.
C'est intuitif, peu rigoureux, mais ça vous mène au résultat.
A bientôt.