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Partons de la dérivée d'un produit de deux fonctions pour en déduire la formule de l'intégration par parties
Considérons deux fonctions f(x) et g(x) et construisons la dérivée de ce produit.
En appliquant l'opérateur de dérivation, on obtient f'(x) fois g(x) plus f(x) fois g'(x)
On obtient donc la dérivée de la première fonction fois la deuxième fonction plus la première fonction fois la dérivée de la deuxième fonction.
Intégrons ensuite cette équation.
On obtient tout bêtement f(x) fois g(x) pour le premier terme sans se préoccuper de la constante.
Puis l'intégrale de f'(x) fois g(x) plus l'intégrale de f(x) fois g'(x).
On veut ensuite donner une valeur au dernier terme.
Ainsi on obtient f(x) fois g(x) moins l'intégrale de f'(x) fois g(x) qui est égal au terme recherché à savoir l'intégrale de f(x) fois g'(x)
Inversons le positionnement des termes.
Voilà la forme la plus habituelle de la relation d'intégration par parties.
Que nous dit-elle?
La formule de l'intégration par parties, maintenant encadrée comme dans les livres, nous dit que si une expression à intégrer est de la forme une fonction fois la dérivée d'une autre fonction, alors nous pouvons appliquer le résultat.
Nous verrons comment cette formule simplifie les calculs dans les prochaines vidéos