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X
Dans cette vidéo, nous allons nous familiariser
avec le concept de "limite",
qui est vraiment la base du calcul différentiel et intégral.
Et même si ce concept est si important, l'idée de base est en fait très simple.
On va donc donner une fonction, plutôt simple:
soit f(x)=(x-1)/(x-1)
et là vous me dites: "Sal, on a la même expression
au numérateur et au dénominateur, si on les divise, ça donne 1.
On peut pas simplifier cette fonction de cette manière pour avoir f(x)=1?"
Eh bien, en un sens, oui, sauf que f(x) devient impossible quand x=1
Si on pose f(1), on a 1-1=0 au numérateur, mais aussi 1-1=0 au dénominateur!
Quel que soit le numérateur (même égal à zéro),
s'il est divisé par 0, la fonction n'admettra pas de solution.
On peut par contre simplifier en disant que f(x)=1 tant que x≠1.
Ces deux fonctions sont équivalentes, elles vont tout le temps avoir 1 pour résultat
sauf lorsque x=1, auquel cas l'expression est impossible.
Donc comment vais-je représenter le graphe de cette fonction?
Voici mon axe pour y=f(x),
celui-ci est mon axe pour représenter x
Ce point marque x=1,
celui-ci marque x=-1
on a y=1 ici, je pourrais placer y=-1, mais il n'y a aucun avantage
par rapport à la fonction qui nous intéresse.
On va donc tracer le graphe.
Quel que soit la valeur de x (à part x=1), f(x) va être égal à 1.
Le graphe commence comme ça
et à x=1, l'expression est impossible, donc je met un petit cercle
pour le représenter. On ne peut pas évaluer ce qui se passe à cet endroit-là.
f(x) ne nous donne aucune indication pour f(1), c'est véritablement impossible.
Vous avez la fonction ici
et donc si quelqu'un vous demande ce qui se passe à x=1,
vous voyez graphiquement qu'il n'y a pas de réponse, le cercle n'indique pas de solution.
Je vais le réécrire, même si semble un peu répétitif.
f(1) est impossible.
Mais si je vous demande d'évaluer la fonction alors que x s'approche de 1?
Là on arrive à introduire le concept de limite.
Quand x s'approche de plus en plus de 1, qu'arrive-t-il à f(x)?
Du côté gauche, tant que l'on s'approche de 1 sans l'atteindre
on est à f(x)=1.
Du côté droit, même chose.
Donc on peut dire (et vous vous habituerez à cette notation à force de faire des examples)
que la limite (qui est abrégée "lim")
alors que x s'approche de 1 de f(x) égale
on peut s'approcher infiniment de 1, tant que l'en est pas à 1
notre fonction est égale à 1.
La limite lorsque x s'approche de 1 de f(x)=1.
Une fois de plus cette notation peut réfréner certains,
tout ce qu'elle nous dit c'est ce qui se passe à mesure que
x s'approche de 1.
Laissez-moi vous donner un autre example.
Disons que l'on a f(x)... ou plutôt g(x) pour changer un peu
g(x) défini comme tel
x² quand x≠2
et quand x=2, g(x)=1
On a donc ici une fonction assez intéressante qui, comme vous le verrez
est discontinue. On va la tracer...
L'axe y=f(x)
Ici, l'abcisse pour les valeurs de x.
On va marquer x=2. Disons que x=1 est ici
x=2 là, x=-1, x=-2
Sauf à x=2, la fonction est donc x², je vais tracer cette fonction
qui est donc une parabole.
Elle ressemble à peu près à ça.
Non, je vais recommencer.
À peu près comme ça... pas la plus belle des paraboles dans l'histoire du tracé de paraboles,
mais ça vous donne une idée générale, et j'espère
que vous savez déjà à quoi ressemble une parabole.
Elle devrait être symmétrique... je vais la retracer
parcequ'elle est vraiment trop moche.
Bien mieux... Et voilà!
On a le graphe de x², mais pas à x=2
donc un dessine un petit cercle ici,
car à x=2, la fonction est égale à 1.
Ce n'est pas la même échelle que l'axe des abcisses, mais disons
que voilà 4, 2, 1, ici 3.
Donc, quand x=2, f(x)=1
La fonction est un peu étrange, mais c'est une manière de la représenter.
C'est donc le graphe habituel de x², sauf quand on est à 2, on a ce cercle
à ce moment, on sait que f(x), ou devrais-je dire g(x),
on utilise g(x)=1
exactement à x=2, on descend à une valeur de 1,
pour ensuite repartir sur la fonction g(x)=x².
Si je vous demande d'évaluer g(2) on utilise la 2e condition
et on sait que la fonction égale 1.
Question que j'espère intéressante,
quelle est la limite de g(x) lorsque x->2?
Une fois de plus la notation est intimidante, mais elle pose une question simple:
Lorsque l'on approche de x=2,
(ceci n'est pas une définition rigoureuse de la limite, que l'on verra plus ***)
de quoi s'approche g(x)?
donc si on prend 1,9 ou 1,999 ou 1,999999, de quoi s'approche g(x)?
et même chose en venant de la droite
qu'est-ce que g(2,1), g(2,001) ou g(2,00001)?
Si on suit visuellement la courbe, on voit que g(x)
s'approche de 4, même si la fonction n'est jamais égale à 4
la limite de g(X) lorsque x->2 est 4.
On peut même le vérifier avec une calculatrice.
On va essayer car c'est intéressant.
Je vais prendre ma bonne vieille TI-85...
On peut calculer les valeurs de g(x) quand x s'approche de 2
si on veut essayer avec 1,9 on utilise la première condition
donc 1,9², ce qui donne 3,61.
Et plus près de 2? Avec 1,99², on a 3,96
et 1,999²? Ca donne 3,996.
Vous remarquerez que l'on se rapproche de ce cercle.
Si je rentre 1,9999999999², bon la calculatrice arrondit, le résultat n'est pas 4
mais un chiffre extrêmement approchant.
On peut essayer du côté positif, et d'ailleurs dans l'évaluation
des limites, il faut que l'on s'approche de la même valeur
en venant d'en-haut ou d'en-bas.
Si on rentre 2,1² on a 4,41
2,0001²? On s'approche énormément de 4.
C'est donc une autre méthode pour vérifier que la limite de g(x)
lorsque x s'approche de 2 depuis quelque direction que ce soit
est de 4, même si à x=2, la fonction retoune la valeur de 1, car elle est discontinue
mais alors que l'on s'approche très près de 2, la limite est de 4.