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X
Si on récapitule, développement limité à l'ordre 1 en 0 : il était donné par :
1 + x + x fois epsilon 1 de x. Donc ça veut dire qu'on peut approcher f par un polynôme
de degré 1 qui est donné par 1 + x. Donc on va noter p1(x) = 1 + x.
Développement limité à l'ordre 2 : il était donné par cet élément-là. Donc on va pouvoir approcher
f par un polynôme de degré 2 et ce polynôme vaudra 1 + x + x²/2 noté p2(x).
Développement limité à l'ordre 3 en 0 : il était noté par tout cet élément. Donc on va pouvoir
approcher f par un polynôme de degré 3 qui est donné par 1 + x + 1/2 * x² + 1/6 * x^3.
Il sera noté p3(x). On fait cela pour pouvoir observer graphiquement ce qui va se passer
pour ces approximations. Voici la courbe représentative d'exponentielle de x. Voici la représentation
de p1(x). Donc vous voyez qu'autour de 0, ici, c'est vrai que le bout rouge coïncide
avec le bout noir. Puis ensuite il y a un écart qui va correspondre à ce fameux epsilon 1 de x.
Si on représente p2 : nous avons une meilleure approximation. La courbe verte
est plus proche de la courbe noir que la courbe rouge. Puis si on trace p3 qui est en bleu,vous voyez
qu'on a encore une meilleure approximation. Donc si on continuait à procéder ainsi en
calculant p4, p5, p6 , alors on verrait que plus le degré est important, meilleure l'approximation est.
Donc pour cela il vaudrait continuer à calculer les dérivées successives de
l'exponentielle de x. Je vous avais expliqué qu'on tombera toujours sur l'exponentielle
et toutes ces valeurs vont valoir 1. C'est pour ça que le développement limité, que
vous pouvez trouver dans les formulaires, ou qu'on pourrait calculer d'exponentielle
de x, est 1 + x + x²/ 2 + x^3 divisé par 3 factoriel + x^4 divisé par 4 factoriel
+ etc...+ x puissance n sur n factoriel. Dans les prochaines séquences nous allons apprendre
à faire la somme de deux développements limités, puis le produit et le quotient et
voir comment on fait avec des techniques de calcul pour obtenir les développements limités.